考研数学线性代数强化习题-相似与相似对角化

..2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-相似与相似对角化知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块九相似与相似对角化Ⅰ经典习题一．相似矩阵1、下列矩阵中，A和B相似的是（）（A）201200000,001000000AB（B）120211231,120015102AB（C）201203000,000000000AB（D）200100020,030003003AB2、设,AB均为n阶矩阵，A可逆且，则下列命题中①②③④正确的有（）个.（A）1（B）2（C）3（D）4二．相似对角化的条件3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（）..（A）101023135（B）100320211（C）101202303（D）2230230014、已知三阶矩阵A的特征值为0,1，则下列结论中不正确的是（）（A）矩阵A是不可逆的（B）矩阵A的主对角元素之和为0（C）11和所对应的特征向量正交（D）0Ax的基础解系由一个向量构成5、设ABn为、阶方阵，且对,||||EAEB有，则（）（A）||||EAEB（B）AB与相似（C）AB与合同（D）AB、同时可相似对角化或不可相似对角化6、设A为n阶方阵，满足2AA，证明：（1）rAErAn；（2）矩阵A可以相似对角化.7、设A为三阶方阵，123,,为三维线性无关列向量组，且有123A，231312,AA.（1）求A的全部特征值；（2）A是否可对角化？8、已知三阶矩阵A的特征值为0,1,2，设322,()BAArB则（）（A）1（B）2（C）3（D）不能确定三．相似对角化中P与的计算9、已知11200060,006PAP是矩阵A属于特征值2的特征向量，23,是矩阵A属于特征值6的特征向量，那么矩阵P不能是（）（A）123,,（B）12323,,2..（C）132,,（D）12123,,10、已知(1,2,3)iiAii，其中123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)TTT，求A______________.11、已知矩阵20000101Ax与20000001By相似:（1）求x与y；（2）求一个满足1PAPB的可逆矩阵P12、设矩阵3221423Akk.问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得1PAP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵.13、设矩阵1114335Axy,已知A有三个线性无关的特征向量,2是A的二重特征值.试求可逆矩阵P,使得1PAP为对角矩阵.14、设矩阵A与B相似,其中20010022,02031100AxBy.（1）求x和y的值;（2）求可逆矩阵P,使1PAPB.四．nA的计算15、已知A、B为三阶矩阵，满足0ABB，11001110aB，齐次方程组0AX有非零解010，（1）求a的值；（2）求可逆矩阵P，使1PAP为对角矩阵；（3）求秩(AE)R；（4）计算行列式AE；（5）求100(AE)五．对实对称矩阵性质的考查..16、设An为阶实对称矩阵，则()（A）An的个特征向量两两正交（B）An的个特征向量组成单位正交向量组（C）Ak的重特征值00rEAnk有（D）Ak的重特征值00rEAk有17、设二阶实对称矩阵A的一个特征值11，属于1的特征向量为(1,1)T，若||2A，则A______________.18、设三阶实对称矩阵A的特征值为1231,1,对应于1的特征向量为1011,求A.六．实对称矩阵的正交相似对角化19、设A是n阶矩阵，且有n个相互正交的特征向量，证明A是实对称矩阵20、设三阶对称矩阵A的特征值为1112,1,1，1110T是A的属于1特征值的特征向量，记32BAAE（1）验证1110T是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与其对应的特征向量；（2）求矩阵B七．综合21、3A为阶实对称矩阵，且满足条件220,()2AArA.（1）求A的全部特征值.（2）当k为何值时，矩阵AkE为正定矩阵，其中3E为阶单位矩阵...Ⅱ参考答案一．相似矩阵1、【答案】（C）【解析】：（A）中，1,2rArB，故A和B不相似.（B）中，9,6trAtrB，故A和B不相似.（D）中，A的特征值为2,2,3，B的特征值为1,3,3，故A和B不相似.由排除法可知：只有（C）中矩阵A和B可能相似.事实上，在（C）中，A和B的特征值均为2,0,0，由于A和B均可相似对角化，也即A和B均相似于200000000，故A和B相似.故选（C）2、【答案】（D）【解析】：由于AB，可知：存在可逆矩阵P，使得1PAPB.故1122111,,TTTTPAPBPAPBPAPB，可知22AB、TTAB、11AB.又由于A可逆，可知1AABABA，故ABBA.故正确的命题有4个，选（D）二．相似对角化的条件3、【答案】（D）【解析】：（A）中矩阵为实对称矩阵，可以相似对角化.（B）中矩阵有三个互不相同的特征值：1,2,1，可以相似对角化.（C）中矩阵特征值为0,0,4，由于该矩阵秩为1，可知其二重特征值0有两个线性无关的特征向量，故可以相似对角化.（D）矩阵特征值为2,2,1，令该矩阵为A，0232003003AE，22rAE，可知其二重特征值2只有一个线性无关的特征向量，故不可以相似对角化.故选（D）.4、【答案】：（C）..【分析】：注意本题是找不正确的答案.根据特征值与行列式的关系及特征值的性质应知A，B正确，而0Ax的非零解对应的是零特征值的特征向量.【解析】：根据123||0A，1122331230aaa，知（A），（B）正确；而10是单根，因此(0)2rEArA，即0Ax的基础解系只由一个线性无关解向量构成，可知（D）也正确.因此唯一可能不正确的选项是（C）.事实上，由于没有限定A为实对称矩阵，故A不同特征值的特征向量不一定正交.故选（C）.【评注】：特征值的重数与矩阵的秩的关系：由于矩阵的k重特征值最多只能有k个线性无关的特征向量，故假设为矩阵A的k重特征值，则nrAEk，也即rAEnk.有两种情况可以确定rAE：一是当矩阵可相似对角化时，必有rAEnk；二是当为单特征值时，由于1rAEn，又由于矩阵AE不满秩，故1rAEn.本题在确定0Ax的基础解系所含向量个数时，用到了上述结论：由于0是单特征值，故(0)312rEAx5、【答案】：（A）【解析】：由||||EAEB知，AB、具有相同特征值12,,,n，而,EAEB的特征值为12,,,n，所以12||||nEAEB故（A）是正确的.对于（B），（C），（D），可以通过举反例予以排除.例如11100101AB，，则AB、的特征多项式相同，但AB、不相似，否则111PAPBAPBPPEPE，矛盾，故可以排除（B）.同时，由于矩阵A不可相似对角化，故可排除（D）.最后，由于合同矩阵是在实对称矩阵的范围内讨论，可知（C）不正确.故唯一正确的选项是（A）6、【证明】：（1）由2AA可得AEAO，故有rAErAn.又由于()rAErArEArArEAArEn.可知rAErAn...（2）由于2AA，可知矩阵A的特征值必满足2，也即A的特征值只能为1或0.由于矩阵可相似对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量，故考虑1和0的特征向量.由于1和0的特征向量分别为0AEx和0Ax的解，它们的基础解系中分别含有nrAE和nrA个解向量.也即特征值1有nrAE个线性无关的特征向量；特征值0有nrA个线性无关的特征向量.而nrAEnrAn，可知A有n个线性无关的特征向量.故矩阵A可以相似对角化.7、【解析】：⑴由已知得，123123()2()A，2121()()A，3131()()A，又因为123,,线性无关，所以1230，210，310.所以-1,2是A的特征值.2131123,,是相应的特征向量.又由123,,线性无关，得2131,也线性无关，所以-1是矩阵A的二重特征值，即A的全部特征值为-1,-1，2.⑵由123,,线性无关可证明2131123,,线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以矩阵A可相似对角化.【评注】：对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题8、【答案】：（A）【解析】：因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，则有1012PAP.那么11321312(2)2PBPPAAPPAPPAP1312()2()PAPPAP0001211840，即010B.因此0()110rBr.故应选（A）三．相似对角化中P与的计算..9、【答案】：（D）【解析】：若1121233,(,,)aPAPaPa则有APP即112312323(,,)(,,)aAaa即123112233(,,)(,,)AAAaaa可见i是矩阵A属于特征值ia的特征向量(1,2,3)i，又因矩阵P可逆，因此，123,,线性无关.若是属于特征值的特征向量，则仍是属于特征值的特征向量，故（A）正确.若，是属于特征值的特征向量，则23,仍是属于特征值的特征向量.本题中，23,是属于6的线性无关的特征向量，故2323,2仍是6的特征向量，并且2323,2线性无关，故（B）正确.关于（C），因为23,均是6的特征向量，所以23与谁在前谁在后均正确.即（C）正确.由于12,是不同特征值的特征向量，因此1212,不再是矩阵A的特征向量，故（D）错误.【评注】：相似对角化中，只要有的对角元是矩阵A的n个特征值，P的列向量是与中特征值对应的n个线性无关的特征向量，所得的与A就能满足等式1PAP10、【答案】：720335203322233【解