第一篇-数学建模方法论基础-2.-建立数学模型

第一篇数学建模方法论基础第二讲建立数学模型建立数学模型1.什么是数学模型2.研究数学模型的意义3.数学建模示例4.数学建模的方法和步骤5.数学模型的特点和分类6.数学建模的能力及其培养（2）模型:模型是为了一定目的，对客观事物的某一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.模型的特点集中反映了原型中人们需要的那一部分特征,构造模型具有目的性.1.什么是数学模型（1）原型：§人们在社会活动和生产实践中所关心和研究的实际对象称为原型.在科技领域中常常用系统和过程等术语.~物理模型~直观模型~符号模型玩具、照片、飞机、火箭模型……水箱中的舰艇、风洞中的飞机……地图、电路图、分子结构图……我们常见的模型举例：模型的作用在于加深人们对原型的认识，进而改造原型。模型的分类可以按代替原形的不同方式来进行：物质模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直观模型、物理模型思维模型、符号模型数学模型（3）数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)数学模型：万有引力定律122mmFkr牛顿第二定律Fma两个传统、经典的数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答建立数学模型的主要过程求解(演绎)表述(归纳)解释检验现数学建模：建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验——经过四个阶段，完成一个循环）2.研究数学模型的意义§数学模型是用数学解决实际问题的桥梁。一般地说，当实际问题需要我们对所研究的实际对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用,而这种应用就是靠建立数学模型来实现的。数学模型作用：解释——说明事物发生甚至发展变化的原因判断——判断原来知识、认识的可靠性；预见——预测未来客观事物的发，为人们的行为提供指导。•电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一，越来越受到人们的重视。数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。•数学模型在其它科学中的应用；传统领域：物理、力学新兴领域：化学、生物、医学、经济、社会科学、军事等。下面从几个侧面进一步说明数学模型的应用：•数学模型和数学技术：•在国民经济中的数学模型：产品的设计与制造系统的控制与优化质量控制资源环境预报与决策其它：气象预报等在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具数学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术。高技术本质上是一种数学技术。3.数学建模示例示例1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析：模型假设：通常~三只脚着地放稳~四只脚着地。•四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;•地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;•地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。§建立模型：用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来•椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置•四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题：已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()–g(),则h(0)0和h(/2)0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是乘船渡河的方案由商人决定。示例2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)：商人们怎样才能安全过河?3名商人3名随从问题分析：这是一个多步决策过程决策：每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的商人及随从数.要求：在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)建立模型xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0、1、2、3;x=y=1、2}S——允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u,v)u+v=1,2}——允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk+(-1)k——状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110•穷举法~编程上机（留作练习）•图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案d1d11允许状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}评注：规格化方法,可以用计算机求解，易于推广。适当的设置状态和决策，并确定状态转移律，是有效解决很广泛的一类问题的建模方法。考虑4名商人各带一随从的情况。模型解释：……思考练习题：背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0问题：研究人口变化规律，较准确地预报人口的增长,预测人口结构的变化,制定合理的控制策略?示例3如何预报人口的增长问题分析：人口数量虽然是离散的，但当考虑一个国家或一个地区的数量很大时，由于突然增加或减少的数量只是少数的个体，与全体数量相比这种变化是微小的。所以，我们可以近似地作出如下假设：基本假设：（1）、人群数量是随时间连续变化；(2）、出生率和死亡率用对总数而言的平均出生率和死亡率来代替；（3）、不考虑其它随机因素对人口数量影响。这样就可以建立确定性连续模型。常用的计算公式——简单算术方法设今年人口，年增长率为r，则k年后人口为kkrxx)1(00x显然，这个公式的基本前提是年增长率r保持不变，这个条件在什么情况下才成立？如果不成立又该怎么办？历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题。下面介绍两个著名的人口模型。1、指数增长模型——马尔萨斯模型(1798)x(t)~时刻t的人口,则基本假设:人口(相对)增长率r是常数,即单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比.()()()xttxtrxtt0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(随着时间增加，人口按指数规律无限增长求解得当时，将t以年为单位离散化得1r即0t令得()()()xttxtrxtt（ThomasRobertMulthus1766—1834）指数增长模型的应用及局限性•与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合•适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代•可用于短期人口增长预测•不符合19世纪后多数地区人口增长规律•不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据表明:人口增长率r不是常数(逐渐下降)算术方法给出的预报公式不过是指数增长模型离散形式的近似表示.trextx)()(0trx)1(0下面表格列出了美国19世纪、20世纪人口统计数据与这个模型的比较结果。美国的实际人口与按数学模型计算的人口比较年实际人口（×106）指数增长模型阻滞增长模型（×106）误差（%）（百万）误差（%）1790180018101820183018401850186018701880189019001910192019301940195019601970198019903.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.49.713.017.423.030.238.149.962.476.591.6107.0122.0135.9148.2158.8167.61.00.81.8-0.9-3.8-1.3-0.6-0.8-0.7-0.40.5-1.03.2-1.7-11.4-17.81.44.26.29.410.310.823.830.542.461.282.1115.37.310.013.718.725.635.047.865.589.6122.5167.6229.3综上所述，可以看出为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。为此有下面的模型：2、阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设)0,()(srsxrxrr~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrr是x的减函数mxrs0)(mxrrxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0xmxm/2xmxtxxxemmrt()()110tx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2建立模型初始条件为0(0)xx模型求解参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r、xm.可以利用人口统计数据拟合出人口增长率的线性函数后，用最小二乘法求出。例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4r=0.2557,xm=392.1模型检验可以拟合算出用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较]/)1990(1)[1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为281.4(百万)5.274)2000(x模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型的用途很广，在生物数学中、经济等领域中(如耐用消费品的售量)都有广泛的应用r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.01°随科技进步，社会发展，人们认识能力的改变对模型中参数及均会产生重要影响。2°用该模型作人口预测，对不同社会发展时期，参数及也应有所调整，一般来说不易准确得到，这也是该模型的缺点之一。3°该模型在1837年之后的许多领域中有广泛应用。用在人口预测中由于仅考虑人口总数和总的增长率，不涉及年龄结构，也是上面两种模型的共同缺陷。实际上，在人口预测中人口按年龄分布状况是十分重要的。因为不同年龄的人的生育率和死亡率有着很大差别。若考虑人口按年龄分布的模型，除了时间变量外，年龄是另一个自变量，可建立用偏微分方程描述的模型——人口发展方程，其特点便于理论分析，为预测人口结构变化，制定合理控制策略提供依据。评注：rrmxmx复利计算问题：某顾客向银行存入本金元，年后他在银行的存款额是本金与利