高中数学人教B版必修5第1章《解三角形》章末归纳提升课件

利用正、余弦定理解三角形1.正弦定理主要有两方面的应用：一是已知三角形的任意两个角与一边；二是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，值得注意的是已知三角形的任意两边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不确定，可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数．2．余弦定理有两个方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．3．余弦定理除了解决两种类型的解三角形问题外，也可以用来解决判断三角形解的个数问题，如已知a，b，A时可用a2＝b2＋c2－2bccosA，在这个以c为变量的一元二次方程中，运用判别式即可判断解的个数．在△ABC中，a＝4，∠A＝60°，当b满足下列条件时，解三角形：(1)b＝433；(2)b＝22＋263；(3)b＝833；(4)b＝8.【思路点拨】已知两边和其中一边的对角解三角形，可以用正弦定理，也可以用余弦定理解决，解题时一定要准确判断解的情况．【规范解答】(1)∵ab，∴∠B为锐角，由正弦定理得：sinB＝basinA＝12，∴∠B＝30°，∠C＝90°，由正弦定理得：c＝asinA·sinC＝833.(2)由正弦定理得：sinB＝ba·sinA＝22＋2634×32＝6＋24，当∠B为锐角时：∠B＝75°，∠C＝45°.由正弦定理得：c＝asinA·sinC＝463，当∠B为钝角时∠B＝105°，∠C＝15°，由正弦定理得：c＝asinA·sinC＝22－263.(3)法一由正弦定理得：sinB＝ba·sinA＝1，∴∠B＝90°，∠C＝30°，由正弦定理得：c＝asinA·sinC＝433.法二设第三边长为c，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝643＋c2－833c，即c2－833c＋163＝0.∴(c－433)2＝0，∴c＝433，由正弦定理得：sinC＝ca·sinA＝12.∵ac，∴∠C为锐角，∴∠C＝30°，∠B＝90°.(4)由正弦定理得：sinB＝ba·sinA＝31，无解．已知a＝5，b＝53，∠A＝30°，解三角形．【解】由题可知，ab，∠A＝30°90°，∵bsinA＝53×12＝532，∴absinA，∴本题有两解．由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝53×125＝32，∴∠B＝60°或∠B＝120°.当∠B＝60°时，∠C＝90°，c＝asinCsinA＝512＝10.当∠B＝120°时，∠C＝30°，c＝a＝5.综上，∠B＝60°，∠C＝90°，c＝10或∠B＝120°，∠C＝30°，c＝5.正、余弦定理在三角形中的综合应用正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来．正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)·sinC．求角A的大小．【思路点拨】根据正弦定理，把已知中的角转化成边再求解．【规范解答】∵2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)·sinC，由正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12.∵0∠Aπ，∴∠A＝2π3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．【解】(1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k0)，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB.所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB.化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又∠A＋∠B＋∠C＝π，所以sinC＝2sinA.因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2，得c＝2a.由余弦定理及cosB＝14，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，从而a＝1，因此b＝2.正弦定理和余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【思路点拨】由题意图出图形，把实际问题转化为数学问题，用解三角形的方法解决．【规范解答】如图所示，在△ABC中，依题意得BC＝202(海里)，∠ABC＝90°－75°＝15°，∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.由正弦定理，得ACsin15°＝BCsin45°，所以AC＝202sin15°sin45°＝10(6－2)(海里)．故A到航线的距离为AD＝ACsin60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－568，所以货轮无触礁危险．如图1－1是曲柄连杆机结构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(连杆的端点A移动的距离A0A)．(精确到1mm)图1－1【解】在△ABC中，由正弦定理，得sinA＝BCsinCAB＝85×sin80°340≈0.2462.∵BCAB，∴∠A为锐角，得∠A≈14°15′.∴∠B＝180°－(∠A＋∠C)≈180°－(14°15′＋80°)＝85°45′.由正弦定理，得AC＝ABsinBsinC≈340×sin85°45′0.9848≈344.3(mm)．∴AA0＝A0C－AC＝(AB＋BC)－AC≈(340＋85)－344.3＝80.7≈81(mm)，即活塞移动的距离约为81mm.转化与化归思想转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路．已知△ABC中，a3＋b3－c3a＋b－c＝c2，且acosB＝bcosA，试判断△ABC的形状．【思路点拨】转化第一个已知条件，应用余弦定理求∠C.转化第二个已知条件，应用正弦定理判断△ABC的形状．【规范解答】由a3＋b3－c3a＋b－c＝c2，得a3＋b3－c3＝c2(a＋b)－c3，∴a2＋b2－ab＝c2，∴cosC＝12，∴∠C＝60°.由acosB＝bcosA，得2RsinAcosB＝2RsinBcosA(R为△ABC外接圆的半径)，∴sin(A－B)＝0，∴∠A－∠B＝0，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形．在△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解】由3b＝23asinB，得bsinB＝23a3，根据正弦定理，得bsinB＝asinA，所以asinA＝23a3，即sinA＝32.又角A是锐角，所以∠A＝60°.又cosB＝cosC，且∠B、∠C都为三角形的内角，所以∠B＝∠C，故△ABC为等边三角形．【答案】D