5.利用一次函数解决实际问题

1.(2011福建省福州市)如图，在平面直角坐标系中，AB、均在边长为1的正方形网格格点上．（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当02y≤≤时，自变量x的取值范围；（2）将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请在答题卡指定位置画出线段BC．若直线BC的函数解析式为ykxb，则y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）设直线AB的函数解析式为ykxb依题意，得(10)A，，(02)B，020kbb解得22kb直线AB的函数解析式为22yx当02y≤≤时，自变量x的取值范围是01x≤≤．（2）线段BC即为所求增大AOByxAOByxC2.(2011江苏省南京市)小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min.设小亮出发xmin后行走的路程为ym，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．（1）小亮行走的总路程是_________m，他途中休息了_______min；（2）①当5080x≤≤时，求y与x的函数关系；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？答案：解：（1）3600，20．（2）①当5080x≤≤时，设y与x的函数关系式为ykxb.根据题意，当50x时，y1950；当80x时，y3600．所以195050360080kbkb，．解得55800kb，．所以，y与x的函数关系式为55800yx.②缆车到山顶的线路长为360021800（m），缆车到达终点所需时间为180018010（min）．小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60（min）．把60x代入55800yx，得5560800y2500．所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是360025001100（m）．3.(2011江苏省宿迁市)某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示．（1）有月租费的收费方式是（填①或②），月租费为元；（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；（3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．答案：解：（1）①，30；（2）方式①：由图象可知，y是x一次函数，设其解析式为：1ykxb，因为图象经过(0,30),(500,80)，可得方程组130,50080bkb．x(分钟)Oy(元)100200300400500102030405060708090100①②解得10.1,30kb．所以0.130yx；方式②：由图象可知，y是x正比例函数，设其解析式为：2ykx，因为图象经过(500,100)，可得方程2500100k，解得20.2k所以0.2yx；（3）令0.1300.2xx，解得300x，结合图象，当通话时间多于300分钟时，建议选择方式②；当通话时间少于300分钟时，建议选择方式①；当通话时间等于300分钟时，两种方式任意选．4.(2011江苏省扬州市)如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）图2中折线ABC表示________槽中水的深度与注水时间的关系，线段DE表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是________________________________；（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）甲槽乙槽图1y（厘米）1914122O46BCDAEx（分钟）图2答案：解：（1）乙，甲，铁块的高度为14cm（或乙槽中水的深度达到14cm时刚好淹没铁块，说出大意即可）（2）设线段DE的函数关系式为11ykxb，则1116012kbb，，11212kb，．DE的函数关系式为212yx．设线段AB的函数关系式为22ykxb，则22241412kbb，，2232kb，．AB的函数关系式为32yx．由题意得21232yxyx，解得28xy．注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同．（3）水由甲槽匀速注入乙槽，乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍．设乙槽底面积与铁块底面积之差为S，则1422361914S，解得230cmS．铁块底面积为236306cm．铁块的体积为361484cm．（4）甲槽底面积为260cm．铁块的体积为3112cm，铁块底面积为2112148cm．设甲槽底面积为2cms，则注水的速度为3122c‎m/min6ss‍‍‍‍‍．由题意得2642481914142ss，解得60s．甲槽底面积为260cm．5.(2011内蒙古鄂尔多斯市)某商场计划采购甲、乙、丙三种型号的“格力”牌空调共25台．三种型号的空调进价和售价如下表：甲乙丙进价（元/台）160018002400售价（元/台）180020502600商场计划投入总资金5万元，所购进的甲、丙型号空调数量相同，乙型号数量不超过甲型号数量的一半．若设购买甲型号空调x台，所有型号空调全部售出后获得的总利润为W元．（1）求W与X之间的函数关系式．（2）商场如何采购空调才能获得最大利润？（3）由于原材料上涨，商场决定将丙型号空调的售价提高a元（100a≥），其余型号售价不变，则商场又该如何采购才能获得最大利润？答案：解：（1）由题意知：丙型号为x台，乙型号为(252)x台，则(18001600)(20501800)(252)(26002400)Wxxx=1006250x（2）依题意得：1252216001800(252)24005000xxxxx≤≤解不等式组，得1012.5x≤≤又x为正整数x取10，11，121000kW随x增大而减小当10x时，W最大．即购进甲：10台，乙：5台，丙：10台时利润最大．（3）依题意得：(18001600)(20501800)(252)(26002400)Wxxax(100)6250ax种类价格①当100a时，1000a，所以有三种方案：即①购进甲、丙两种型号各10台，乙5台②购进甲、丙两种型号各11台，乙3台③购进甲、丙两种型号各12台，乙1台②当100a时，1000a，所以当x取12时，W最大．即购进甲12台，乙1台，丙12台6.(2011福建省漳州市)如图，直线22yx与x轴、y轴分别交于A、B两点，将OAB△绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．（1）填空：点C的坐标是（_______，_______），点D的坐标是（_______，_______）．（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有．．满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（-2，0）（2）方法一：由（1）可知225CDOCCD，1BC又1543，∴BMCDOC△∽△∴BMBCDODC即125BM∴255BM．方法二：设直线CD的解析式为ykxb，由（1）得120bkb解得121kb∴直线CD的解析式为112yx∵22112yxyx∴2565xy∴点M的坐标为2655，过点M作MEy轴于点E，则25ME，45BE∴22255BMMEBE（3）存在分两种情况讨论：①以BM为腰时∵255BM，又点P在y轴上，且BPBM此时满足条件的点P有两个，它们是122202502555PP，、，过点M作MEy轴于点E，∵90BMC°则BMEBCM△∽△∴BEBMBMBC∴245BMBEBC又∵BMMP∴45PEBE∴85BP∴82255OP此时满足条件的点P有一个，它是3205P，．②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点PF、由（2）得90BMC°∴PFCM∥∵点F是BM的中点∴1122BPBC∴32OP此时满足条件的点P有一个，它是4302P，．综上所述，符合条件的点P有四个，它们是：122202502555PP，，，，34230052PP，，，．7.(2011山东省济宁市)去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱．某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地堪查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？（2）水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？答案：解：（1）作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为（12，-7）．OABDC246842681012x/千米y/千米设直线AE的函数关系式为ykxb，则23127.kbkb，解得15.kb，所以，直线AE解析式为5.yx当0y时，5.x所以，水泵站应建在距离大桥5千米的地方时，可使所用输水管道最短．（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点.G设点G的坐标为0.x，在RtAGD△中，2222232.AGADDGx在RtBCG△中，22222712.BGBCGCx∵AGBG,∴222232712xx．解得9.x所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．8.(2011广西贺州市)某生姜种植基地计划种植A、B两种生姜30亩，已知A、B两种生姜的年产量分别为2000千克/亩、2500千克/亩，收购单价分别是8元/千克、7元/千克.（1）若该基地收获A、B两种生姜的年总产量为68000千克，求A、B两种生姜各种多少亩？（2）若要求种植A种生姜的亩数不少于B种的一半，那么种植A、B两种生姜各多少亩时，全部收购该基地生姜的年总收入最多？最多为多少元？OABDC246842681012x/千米y/千米GEF答案：解：（1）设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜（30x）亩．根据题意，得2000x+2500（30-x）=68000．解得x=14．∴3016x．答：A种生姜种植14亩，B种生姜种植16亩．（2）由题意，得1(30)2xx≥．解得x≥10．设全部收购该基地生姜的年总收入为y元，则820007250030yxx1500525000.x∵y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值．此时，3020x，y的最大值为510000元．答：种植A种生姜10亩，B种生姜20亩时，全部收购该基地生姜的年总收入最多为510000元．9.(2011四川省泸州市)如图，已知函数60