2015年高中数学 2.5平面向量应用举例课件 新人教A版必修4

第二章平面向量2.5平面向量应用举例1．能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)3．掌握用向量方法解决实际问题的步骤．(易混点)1．物理学中的量与向量的关系(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是________．(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的_______法．向量加减2．用向量方法解决平面问题的“三步法”1．想一想船逆水行驶的实际速度，可看作向量怎样的运算？提示：可看作船静水速度(向量ν1)与水流速度(向量ν2)的和运算，即ν1＋ν2.2．判一判(判断下列说法的正误)(1)若△ABC是直角三角形，则有AB→·BC→＝0.()提示：×直角△ABC中不一定∠B是直角，故不一定有AB→·BC→＝0.(2)若AB→∥CD→，则直线AB与CD平行．()提示：×AB→∥CD→⇒直线AB与CD重合或平行．(3)向量AB→，CD→的夹角与直线AB，CD的夹角不相等．()提示：×AB→、CD→的夹角可能与直线AB、CD的夹角相等．1．向量在平面几何中的应用(1)把平面几何中的线段规定方向转化为向量，这样，有关线段的长度即转化为向量的长度(模)、射线的夹角即转化为向量的夹角，于是平面几何中的一此证明、计算就被向量的运算取代，这给许多问题的解决带来了方便，就是说向量为我们研究平面几何问题提供了一种新的思想，新的工具．(2)平面几何证明中辅助线往往是学习的难点，而引入向量后，就减少或不需作辅助线，但应注意选用基底表示有关向量时，选用的基底不同，解法也会有一些差别，因此选用合适的基底显得很重要．2．在物理中与向量运算有关的问题(1)力、速度、加速度、位移都是向量．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减．(3)动量mv是数乘向量．(4)功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.试用向量方法证明：平行四边形对角线平方和等于其各边平方和．向量在平面几何中的应用思路点拨：选取基底―→表示OC→，BA→―→求OC→2，BA→2―→求和得结论证明：如图所示，在▱OACB中，设OA→＝a，OB→＝b，则OC→＝a＋b，BA→＝a－b.由于OC→2＝OC→·OC→＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2，BA→2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2.由于OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|，故OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．解：如图所示，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求：AC→＝(－2a，a)，BD→＝(a，－2a)．不妨设AC→，BD→的夹角为θ，则cosθ＝AC→·BD→|AC→||BD→|＝－2a，a·a，－2a5a·5a＝－4a25a2＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.向量在物理中的应用如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为2π3，求|F3|.思路点拨：解答本题的切入点是根据三个力F1，F2，F3处于平衡状态分析出F1＋F2＋F3＝0.解：∵F1，F2，F3三个力处于平衡状态，∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)．∴|F3|＝|F1＋F2|＝F1＋F22＝F21＋2F1·F2＋F22＝1＋2×1×2×cos2π3＋4＝3.向量解决物理问题的步骤【互动探究】在本例中，求F2与F3的夹角．解：∵F1＋F2＋F3＝0，∴－F1＝F2＋F3.∴(－F1)2＝(F2＋F3)2，即F21＝F22＋2F2·F3＋F23.设F2与F3的夹角为θ，∵|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝3，∴12＝22＋2×2×3cosθ＋(3)2，解得cosθ＝－32.又θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.故F2与F3的夹角为5π6.易错误区系列(十七)利用向量判断平面图形形状时的误区在△ABC中，(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，①得(BC→＋BA→)·AC→－AC→2＝0，所以AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0.②所以AC→·(BC→＋BA→＋CA→)＝0.③即AC→·(BC→＋CA→＋BA→)＝0，所以2AC→·BA→＝0.所以AC→⊥BA→.所以∠A＝90°.所以△ABC是直角三角形．答案：C错解错因选A或B或D若在①处忽视a2＝|a|2的应用，②处忽视向量数量积的运算律的应用，③处相反向量的意义应用出错，则导致解答错误【纠错提升】应用向量知识判断平面图形形状的三点注意(1)注意向量线性运算和数量积的几何意义的应用．(2)注意常见平面图形的判定方法，如等腰三角形、等边三角形、平行四边形、梯形等．(3)推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导，回答应力求准确．【即时演练】若四边形A1A2A3A4满足A1A→2＋A3A→4＝0，(A1A→2－A1A→4)·A1A→3＝0，则该四边形一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．直角梯形解析：由A1A→2＋A3A→4＝0得A1A→2＝－A3A→4，所以A1A2→∥A3A4→，|A1A2→|＝|A3A4→|.所以四边形A1A2A3A4是平行四边形．又因为(A1A→2－A1A→4)·A1A→3＝A4A→2·A1A→3＝0，所以A4A→2⊥A1A→3.所以四边形A1A2A3A4是菱形．答案：B