基于Black-Scholes模型的欧式期权定价研究

学号：05008基于Black-Scholes模型的欧式期权定价研究清华大学高皓指导教师：束为（北京市商务局副局长）摘要：期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。期权定价是金融衍生工具理论研究和实际应用的核心问题。本文介绍了金融衍生品概况，利用随机过程的知识，系统研究了基于Black-Scholes模型的欧式期权定价问题。文章推导出了标的资产的价格过程，进而应用风险中性法详细解析了Black-Scholes模型。关键词：期权定价，伊藤过程，Black-Scholes模型，风险中性。1金融衍生品概论1.1金融衍生品及其市场期权是最基本的金融衍生品之一。金融衍生工具（derivativeinstruments）又称金融衍生品（derivatives）或金融证券（derivativesecurities），是一种金融工具，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产（underlyingasset）的价格。这就是说金融衍生品的价值是由其标的资产价值衍生（derived）而得到的。其中，用来作为标的资产的可以是债券、股票、货币等基础金融工具，也可以是其它实物资产，或者是金融衍生品本身。从金融工程学角度看，远期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的衍生品。市场上还存在的的其它衍生品，如掉期（swaps）、按揭抵押债券（mortgage-backedsecurities）、结构化债券（structuredsecurities）等都可以看作上述三种基本衍生工具及债券、股票的基础金融工具不同组合的产物。金融衍生品市场是一个非常巨大的市场，表1和表2分别列出了5年前交易所内外交易的金融衍生产品市值。目前全球每年的交易额超过100万亿美元，而全世界所有国家的当年GDP总和也不过30万亿美元。这个市场发展极其迅猛，也对全世界的经济走势产生了极其深远的影响。从原理上来讲，金融衍生品市场首先是规避风险的工具，通过交易使得风险从风险厌恶者手中转移到风险喜好者手中。但在实践中取得的效果往往适得其反，越是设计的复杂的产品，其破坏力往往就越大。1994年墨西哥金融危机，1997年亚洲金融风暴都与金融衍生品市场息息相关。金融衍生品市场非常精妙复杂，充满了不确定性，每天都在发生着惊心动魄的财富故事，是对人类智力的挑战。目前在中国还未允许期权交易和金融期货交易，但是，中国的金融安全、中国的发展，需要一大批金融衍生品方面的顶尖专家。前一段时间发生的“国储铜”事件，让我们感到学习掌握金融衍生品交易的尖端技术迫在眉睫。表1交易所交易的金融衍生产品市值（单位:10亿美元）期末名义余额名义交易额时间1997年12月1998年12月1999年6月1997年1998年1999年总计12,202.213,549.215,097.8356,752.8387,699.292,818.0数据来源：国际清算银行1999年发布的《国际银行业与金融市场发展》季度报告表2场外市场交易的金融衍生产品期末未结清余额（单位:10亿美元）工具1998年6月1998年12月名义本金额市场总价值名义本金额市场总价值总计72,1432,58080,3003,230数据来源：国际清算银行1999年关于衍生品OTC市场的统计报告1.2期权的基本概念期权(option)：是一种选择权，持有者有在约定时间以约定价格向其权提供者购买或售出某种资产的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。做多方（longposition）：买方。做空方（shortposition）：卖方。标的资产（underlyingasset）：期权合同做多方行使权力时买入或卖出的资产。可供选择的表弟资产有股票、债券、货币、利率等金融资产，也可以是黄金和其他一些商品。敲定价格（strikeprice）：期权合同所规定的标的资产的买入或卖出价格。敲定价格在签订期权合同时就已经固定，不再随标的资产的市场价格变化而变化。看涨期权(calloption)：是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须买进的义务。看跌期权(putoption)：是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须卖出的义务。到期日（expirationdate）：期权合同所规定的有效期限或合同做多方行使权力的时间。根据做多方在期权有效期内行使权力自由度的不同，期权有可以分为美式期权（American-styleoption），即做多方可以在到期日前任何一天行使权力；欧式期权（European-styleoption），即做多方只能在到期日行使权力，本文中仅研究欧式期权。可行市场：研究金融市场有一个基本的假定，就是无套利原则，也称套利原则，这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会（套利的粗略含义是，在开始时无资本，经过资本的市场运作后，变成有非负的（随机）资金，而且有正资金的概率为正）。因为在出现套利机会时，大量的投机者就会涌向市场进行套利，于是经过一个相对短的时期的“混乱”后，市场就会重返“正常”，即回复到无套利状态。在金融衍生证券的定价理论中，并不讨论这段短混乱时期，因此，在研究中普遍地设置无套利假定，这样的市场也称为可行市场。套期：粗略地说，以持有某些有价证券组合来抵消某种金融衍生证券所带来的风险，称为套期，这种套期事实上是完全套期。如果只抵消了部分风险，则称为部分套期。1.3期权交易过程以某种证券为标的变量的欧式看涨期权，是指在t＝0时甲方（一般为证券公司）与乙方的一个合约，按此合约规定乙方有一个权利，能在时刻T以价格X（敲定价格）从甲方买进一批这种证券，如果时间T时的市场价格TS低于X，乙方可以不买，而只要时间T时的市场价格TS高于X，乙方就得利。综合起来，乙方在时刻T净得随机收益为max(0,)TTcSX。因为乙方只能在最终时刻T做出选择，所以这种期权是欧式期权。此外，乙方希望TS尽量大，以便有更多的获利。也就是有选择权的乙方盼望股票上涨，这就是看涨期权，或者买权。由于这个合约能给乙方带来max(0,)TTcSX的随机收益，就需要乙方在t＝0时刻用钱从甲方购买。这个合约在t＝0时刻的价格，称为它的贴水或保证金(premium)。问题关键是如何确定这个合约在时刻tT的价格。这正是本文研究的问题。1.4Black-Scholes期权定价模型的简述价格从来都是市场经济的核心内容，价格是使市场上的交易双方达成交易的最重要的因素，价格反映了市场上的供求关系。资产定价（assetvaluation）是现代财务学的一个基本问题。1973年，芝加哥大学教授Black和MIT教授Scholes在美国“政治经济学报”（JournalofPoliticalEconomy）上发表了一篇题为“期权定价和公司负债”（ThepricingofOptionsandCorporateLiabilities）的论文；同年，哈佛大学教授Merton在“贝尔经济管理科学学报”上发表了另一篇论文“期权的理性定价理论”（Theoryofrationaloptionpricing），奠定了期权定价的理论性基础，为财务金融学开创了一个崭新的领域，也拉开了100万亿美元庞大市场的序幕。Scholes和Merton由于在期权定价方面的开拓性贡献，被授予1997年诺贝尔经济学奖（Black教授1995年逝世未能享此殊誉，但英名也永载史册）。现在，期权理论与应用研究已经成为财务金融学领域最为活跃的分支，本文的研究就是以著名的Black-Scholes模型展开的。1.4.1概念与基本假定Black-Scholes期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为五个：标的资产市场价格tS、执行价格X、无风险利率r、标的资产价格波动率和距离到期时间Tt。除此之外，对于股票期权来说，影响其价值的参数还包括股利支付D。在具体分析上述参数对期权价值的影响之前，我们先讨论一下期权价值的构成问题。期权的价值等于内在价值和时间价值之和。其中，期权的内在价值(intrinsicvalue)是指期权盈价的金额，即期权的做多方从执行期权合同中得到的现金收入额。买权的内在价值max(0,)TtcSX表明，由于期权损益结构的不对称性，其内在价值不会为负，至少等于0。图1欧式看涨期权的价格（123ttt）对于一个欧式买权、且现在时刻t离到期日T尚有一段时间T-t，则不能简单地用现行市场价格tS，减去执行价格X作为其内在价值，因为它们是发生在两个不同时刻的价值量，考虑到货币的时间价值，简单的算术加减是没有意义的，而应当将未来T时刻的价值量X按无风险利率r贴现到当前时刻。因此，欧式买权内在价值的计算公式应当调整为()max(0,)rTtTtcSXe内在价值时间价值期权价值TS123ttt01.4.2Black-Scholes期权定价的基本思路期权定价的主要研究工具是随机过程的分支——随机微分方程和鞅。随机微积分起源于马尔可夫过程结构的研究。日本数学家伊藤清在探讨马尔可夫过程的内部结构时，认为布朗运动(又称维纳过程)是最基本的扩散过程，能够用它来构造出一般的扩散运动。Black-Scholes考察一类特殊的扩散过程：()()dStSdtSdBt，这里tS表示股票价格，股票预期收益率及波动率(0)均为常数，t代表时间，()Bt为标准布朗运动。在无交易成本、不分股利的假设涨期权价格tF下，得出欧式看应满足如下微分方程(r为无风险利率)：Black在1989年曾在一篇文章中介绍了得到Black-Scholes模型的全部经过。他指出，期权定价的核心在于设计一个套期组合策略，使得期权市场投资风险为零，这是对期权定价建模思路的高度概括。我们下面将详细讨论。利用偏微分方程的理论求出的方程解析解，即著名的Black-Scholes期权定价公式。下面列出了欧式买权解的表达式。()12()()rTttttFcSNdXeNd其中，2．标的资产价格变动的概率分布模型从概率论的角度讲，标的资产价格的变化是一个随机过程。因此，了解和掌握这个随机过程的基本特征，是期权定价理论首先要回答的基本问题。例如，股票价格变动服从几何布朗运动或对数正态分布，是Black和Scholes在推导B-S期权定价模型时用到的最基本的假设。本节介绍与之相关的基本概念，布朗运动、几何布朗运动、伊藤过程和伊藤定理等。在此基础上，以股票为例，讨论标的资产价格的概率模型。2.1布朗运动及一般化维纳过程股票价格的变化行为常用著名的布朗运动来刻画。布朗运动是马尔柯夫过程的一种特殊形式。布朗运动最早起源于物理学，物理学中把某个粒子的运动是受到大量小分子碰撞的结果成为布朗运动。股票价格的变化也是受着很多种因素的影响，所以形象的说，股票价格运动的轨迹类似于布朗运动。关于这一点假设，文章中还会有比较详细的说明。定义布朗运动（维纳过程）随机过程(),0Btt称为布朗运动（维纳过程），如果它满足：（1）过程具有独立增量；（2）正态增量，即(),0xtt；（3）是一个连续函数。从下图中布朗运动的轨迹看，确实没有什么规律可言。22221()2ttttttttttttFFFFdFSSdtSdBtSSS2121/221/221[ln()()()]2[()]()tSrTtXdTtddTt图2布朗运动的轨迹定义一般维纳过程(),0Btt为设布朗运动，则称()()dStdtdBt为一般化的维纳过程（布朗运动）。称为瞬时期望漂移率（instantaneousexpecteddraftrate），为瞬时标准差，它们都是给定的参数，()Bt是连续的维纳过程。一般化维纳过程是最常用来刻画基础金融变量，特别是描述股票价格的变化的一种随机过程形式。影响股票价格变化的因素主要有以下两点：股票价格随时间上涨的趋势和股票价格的平均波动率。前者对股票价格增长的贡献取决