等角定理及其推论

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理4：平行于同一直线的两条直线平行。3.空间两条直线的位置关系有三种：①平行直线——②相交直线——③异面直线——在同一个平面内，没有公共点的两条直线。在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。ABαabcαbaβαbaγababα记作：a//bbβaO记作：ObaBAC1A’B’C’D’32在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。如图,AB∥A/B/,BC∥D/C/,则∠1=∠2,或∠1+∠3=1800βA/B/O/αAOBC132定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.aa1bb1132abOa1b1a,b是两异面直线，若在空中任取一点O，过O作两异面直线的平行线a1,b1,则a1,b1所成的锐角或直角的大小一定吗？为什么？在空中再任意取一点O2，作a2∥a、b2∥b.那么a1b1,a2b2所成的直角或锐角相等吗？这说明了什么问题？abOa1b1O2a2b2分别与异面直线平行的相交直线a1b1所成的直角或锐角只与异面直线的位置有关，与O点位置无关。a,b是两异面直线，在空中任取一点O，过O作两异面直线的平行线a1,b1,则称a1,b1所成的锐角或直角为：abOa1b1两异面直线a,b所成的角。定义A1B1BAD1C1DC判断正方体中每对异面直线所成的角是多少？1。A1B与D1C12。A1B与C1C3。A1B与CD4。A1B与C1D5。A1B与B1D145°45°45°帮助解答A1B1BAD1C1DC4、A1B与C1D所成的角即A1B与所成的角，为。5、A1B与B1D1所成的角即A1B与所成的角，三角形为，所以A1B与B1D1所成的角为。A1B1BAD1C1DCAB1BDA1BD正三角形90°60°返回第4题第5题abb1a1O特殊地，若a1,b1所成的角为直角，也就是说异面直线所成的角等于90°时，称：两异面直线互相垂直1、和一直线垂直的直线有几条？返回2、互相垂直的直线一定相交吗?若a⊥b，b⊥c，则a，c的位置关系是什么？这样的b有几条？请同学们合作，用笔比量一下。abcabcabcAFEDCB例4如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且已知AB=CD=3，,求异面直线AB和CD所成的角.12AEBFEDFC3EFM例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，ABAA12cm，AD1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值.取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：为什么？于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，ABAA12cm，AD1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值.取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，解：为什么？MO1DB1A1D1C1ACB,23212212122211BDMO,512221MA,2512212211OA,55cos11MOAA1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳：平移法连A1M，在A1O1M中即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角.55由勾股定理得：解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系.3,52,51111ECEACA在A1C1E中，55cos11ECAA1C1与BD1所成角的余弦值为如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体B1F，55