《概率论与数理统计》习题三答案

1《概率论与数理统计》习题及答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：012310131113C222823111C3/8222031800111122282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：0123000223247CC3C35313247CC2C351011232247CCC6C3521132247CCC12C35313247CC2C352P(0黑,2红,2白)=2242271CC/C3512132247CCC6C35223247CC3C3503.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=.,020,20,sinsin其他ππyxyx求二维随机变量（X，Y）在长方形域36,40πππyx内的概率.【解】如图πππ{0,}(3.2)463PXY公式ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636FFFFXYXY2ππππππsinsinsinsinsin0sinsin0sin4346362(31).4题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=.,0,0,0,)43(其他yxAyxe求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X1，0≤Y2}.【解】（1）由-(34)00(,)ddedd112xyAfxyxyAxy得A=12（2）由定义，有(,)(,)ddyxFxyfuvuv(34)340012edd(1e)(1e)0,0,0,0,yyuvxyuvyx其他(3){01,02}PXY12(34)3800{01,02}12edd(1e)(1e)0.9499.xyPXYxy5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,42,20),6(其他yxyxk（1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性质有32402(,)dd(6)dd81,fxyxykxyyxk故18R（2）13{1,3}(,)ddPXYfxyyx130213(6)dd88kxyyx(3)11.5{1.5}(,)dda(,)ddxDPXfxyxyfxyxy如图1.5402127d(6)d.832xxyy(4)24{4}(,)dd(,)ddXYDPXYfxyxyfxyxy如图b240212d(6)d.83xxxyy题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=.,0,0,55其他yye求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{Y≤X}.题6图【解】（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为1,00.2,()0.20,.Xxfx其他而455e,0,()0,.yYyfy其他所以(,),()()XYfxyXYfxfy独立5515e25e,00.20,0.20,0,yyxy且其他.(2)5()(,)dd25eddyyxDPYXfxyxyxy如图0.20.2-55000-1d25ed(5e5)d=e0.3679.xyxxyx7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=.,0,0,0),1)(1(24其他yxyxee求（X，Y）的联合分布密度.【解】(42)28e,0,0,(,)(,)0,xyxyFxyfxyxy其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=4.8(2),01,0,0,.yxxyx其他求边缘概率密度.【解】()(,)dXfxfxyyx204.8(2)d2.4(2),01,=0,.0,yxyxxx其他()(,)dYfyfxyx12y4.8(2)d2.4(34),01,=0,.0,yxxyyyy其他5题8图题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,0,其他eyxy求边缘概率密度.【解】()(,)dXfxfxyyede,0,=0,.0,yxxyx其他()(,)dYfyfxyx0ede,0,=0,.0,yyxxyy其他题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,1,22其他yxycx（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）(,)dd(,)ddDfxyxyfxyxy如图2112-14=dd1.21xxcxyyc得214c.(2)()(,)dXfxfxyy6212422121(1),11,d840,0,.xxxxxyy其他()(,)dYfyfxyx522217d,01,420,0,.yyxyxyy其他11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,10,,1其他xxy求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.题11图【解】()(,)dXfxfxyy1d2,01,0,.xxyxx其他111d1,10,()(,)d1d1,01,0,.yYyxyyfyfxyxxyy其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.YXXyxfxyfyxxfx其他7|1,1,1(,)1(|),1,()10,.XYYyxyfxyfxyyxfyy其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X与Y的联合分布律如下表345{}iPXx13511C103522C103533C10610203511C103522C103103002511C10110{}iPYy110310610(2)因6161{1}{3}{1,3},101010010PXPYPXY故X与Y不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为2580.40.80.150.300.350.050.120.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2{}iPXx0.20.420.38YXXYXY8(2)因{2}{0.4}0.20.8PXPY0.160.15(2,0.4),PXY故X与Y不独立14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=.,0,0,212/其他yye（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,Xxfx其他;21e,1,()20,yYyfy其他.故/21e01,0,(,),()()20,.yXYxyfxyXYfxfy独立其他题14图(2)方程220aXaY有实根的条件是2(2)40XY故X2≥Y，从而方程有实根的概率为：22{}(,)ddxyPXYfxyxy21/2001ded212[(1)(0)]0.1445.xyxy15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=.,0,1000,10002其他xx9求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(){}{}ZXFzPZzPzY(1)当z≤0时，()0ZFz（2）当0z1时，（这时当x=1000时,y=1000z）(如图a)3366102222101010()ddddyzZzxyzFzxyyxxyxy33610231010=d2zzyyzy题15图(3)当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）3366222210101010()ddddzyZxyzFzxyyxxyxy336231010101=d12yyzyz即11,1,2(),01,20,.Zzzzfzz其他故21,1,21(),01,20,.Zzzfzz其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.10【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}iPXXXXXPXPX之间独立34{180}{180}PXPX1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]PXPXPXPX44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.PX17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….证明随机变量Z=X+Y的分布律为P{Z=i}=ikkiqkp0)()(，i=0，1，2，….【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以{}{}ZiXYi{0,}{1,1}{,0}XYiXYiXiY于是0{}{,},ikPZiPXkYikXY相互独立0{}{}ikPXkPYik0()()ikpkqik18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.0{}{,}kiPXYkPXiYki1100202(){}2kikinikinkiikknkiknkPXiPYkinnpqpqikinnpqikinpqk方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.19.设随机变量（X，Y）的分布律为012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.01