数值分析作业答案(第7章part2)

7.2.为求方程0123xx在5.10x附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。(1).2/11xx，迭代公式21/11kkxx；(2).123xx，迭代公式3211kkxx；(3).112xx，迭代公式1/11kkxx。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解考虑5.10x的领域]6.1,3.1[。(1).当]6.1,3.1[x时，]6.1,3.1[11)(2xx，1910.03.122)('33Lxx，故迭代2111kkxx在]6.1,3.1[上整体收敛。(2).当]6.1,3.1[x时，]6.1,3.1[1)(3/12xx，1522.0)3.11(6.132)1(32)('3/223/22Lxxx，故迭代3211kkxx在]6.1,3.1[上整体收敛。(3).当]6.1,3.1[x时，11)(xx，1)16.1(21)1(21)('2/3xx，故迭代1/11kkxx发散。7.4.给定函数)(xf，设对一切x，)('xf存在且Mxfm)('0，证明对于范围M/20内的任意定数，迭代过程)(1xfxxkk均收敛于0)(xf的根*x。证明由于0)('xf，故)(xf为单调函数因此方程0)(xf的根*x是唯一的。迭代函数)()(xfxx，)('1)('xfx。由Mxfm)('0及M/20，得：2)('0Mxfm11)('111mxfM故1}1,1max{)('MmLx因此可得0*0*1*xxLxxLxxkkk)(k即*limxxkk。7.8.分别用二分法和牛顿法求0tanxx的最小正根。解显然0*x满足方程。另外，当x较小时，1231tan123kxxxxk，故当2,0x时，xxtan，因此方程0tanxx的最小正根应在23,21。记xxxftan)(，23,2x，由0842.2)4(f，026.4)6.4(f，知]6.4,4[是0)(xf的有根区间。对于二分法，计算结果见下表。kkakbkx)(kxf的符号04.04.64.3+14.34.64.45+24.454.64.525-34.454.5254.4875+44.48754.5254.50625-54.48754.506254.496875-64.48754.4968754.4921875+74.49218754.4968754.49453125-84.49218754.494531254.493359375+94.4933593754.494531254.493445313-此时310*9101024121xx。若用牛顿法，由于0)(tan)('2xxf，0cos1tan2)(''2xxxf，故取6.40x，迭代结果见下表。kkxkkxkkx14.54573212234.4941716354.49340945824.50614558844.49341219764.493409458所以0tanxx的最小正根为458409493.4*x。7.9.研究求a的牛顿公式kkkxaxx211，00x证明对一切axkk,,2,1且序列,,21xx是递减的。证明牛顿迭代公式为kkkxaxx211，因为00x，所以0kx),2,1(k，且axaxxaxxkkkkk221211。又因为122122121aaxaxxkkk，因而kkxx1，即对一切axkk,,2,1，且序列,,21xx是递减的。7.12.应用牛顿法于方程03ax，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。解axxf3)(，故23)('xxf，xxf6)(''，牛顿法迭代公式为23231323)(')(kkkkkkkkkxaxxaxxxfxfxx，,2,1,0k。当0a时，3a为0)(xf的单根，此时，牛顿法在*x附近是平方收敛的。当0a时，迭代公式退化为kkxx321，因而0kx，即迭代公式收敛。[此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好]