第三章调和方程

第三章调和方程LaplaceEquations齐海涛山东大学（威海）数学与统计学院[e-mail]齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-271/85目录1建立方程、定解条件2格林公式及其应用3格林函数4强极值原理、第二边值问题解的唯一性齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-272/85学习要求1调和方程解(调和函数)的基本性质,包括各类极值原理,以及这些性质是如何与定解问题解的适定性相联系的;2在一些特殊区域中对某些定解问题的求解,包括解的显式表达式的导出.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-273/851建立方程、定解条件2格林公式及其应用3格林函数4强极值原理、第二边值问题解的唯一性齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-274/85方程的导出调和方程(Laplace方程)△u@2u@x2+@2u@y2+@2u@z2=0(1.1)泊松(Poisson)方程△u@2u@x2+@2u@y2+@2u@z2=f(x;y;z)(1.2)调和方程或Poisson方程可以从多种物理问题中导出,例如:三维空间中当无热源传热介质处于热平衡状态时,温度分布函数u应当满足(1.1);在外力F(x;y)作用下的薄膜平衡方程为@2u@x2+@2u@y2=F(x;y)T;齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-274/85方程的导出调和方程(Laplace方程)△u@2u@x2+@2u@y2+@2u@z2=0(1.1)泊松(Poisson)方程△u@2u@x2+@2u@y2+@2u@z2=f(x;y;z)(1.2)调和方程或Poisson方程可以从多种物理问题中导出,例如:三维空间中当无热源传热介质处于热平衡状态时,温度分布函数u应当满足(1.1);在外力F(x;y)作用下的薄膜平衡方程为@2u@x2+@2u@y2=F(x;y)T;齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-274/85方程的导出无旋场势函数φ(x;y;z)满足△φ=0;一个复解析函数w=u+iv的实部与虚部满足C-R方程ux=vy,uy=vx,由此可知u与v分别满足二维Laplace方程.在一定电荷分布强度为(x;y;z)的静电场中,电位势u(x;y;z)满足Poisson方程△u=4:引力位势:根据牛顿万有引力定律,位于(x0;y0;z0)处质量为M的质点对位于(x;y;z)处具单位质量的质点的引力为F(x;y;z)=Mr2(xx0r;yy0r;zz0r):引力场函数F(x;y;z)是位势函数φ(x;y;z)=Mr的梯度:F=gradφ,且除相差一个任意常数外位势函数是唯一确定的.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-275/85方程的导出考虑有以密度(x;y;z)分布在区域Ω上的质量.在区域Ω上的质量所产生的总引力位势为φ(x;y;z)=$Ω(;;)ddd√(x)2+(y)2+(z)2:(1.3)直接计算知φ(x;y;z)在Ω以外满足调和方程△φ=0;若满足Hölder条件,φ(x;y;z)在Ω内满足Poisson方程△φ=4.Definition1.1调和方程(1.1)的连续解,即具有关于变量x和y的二阶连续偏导数并且满足方程(1.1)的连续函数解称为调和函数.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-276/85定解条件和定解问题若Ω为空间Rn中一给定区域,为Ω的边界.在Ω上考察调和方程或Poisson方程的解时,在上可以给定不同类型的边界条件.最常见的边界条件有以下几种.1第一类边界条件(Dirichlet条件):uj=g:(1.5)2第二类边界条件(Neumann条件):@u@n=g:(1.6)3第三类边界条件(Robin条件):(@u@n+u)=g;0:齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-277/85定解条件和定解问题与这三类边界条件相对应的边值问题分别称为第一边值问题(Dirichlet问题)、第二边值问题(Neumann问题)与第三边值问题(Robin问题).若Ω为有界域,则称相应的边值问题为内问题;若Ω为一给定有界闭曲面(线)的外部区域,则称相应的边值问题为外问题.讨论调和方程的各类边值外问题时,应当对于解在无穷远处的性质加以限制.在二维的情形,一般要求解u在无穷远处有界;而在三维的情形,一般要求解u在无穷远处趋于零.Example1.2考察方程uxx+uyy+uzz=0在单位球面外部区域的Dirichlet外问题,边界条件为uj=1.下面确切地叙述Laplace方程外问题的提法.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-278/85定解条件和定解问题与这三类边界条件相对应的边值问题分别称为第一边值问题(Dirichlet问题)、第二边值问题(Neumann问题)与第三边值问题(Robin问题).若Ω为有界域,则称相应的边值问题为内问题;若Ω为一给定有界闭曲面(线)的外部区域,则称相应的边值问题为外问题.讨论调和方程的各类边值外问题时,应当对于解在无穷远处的性质加以限制.在二维的情形,一般要求解u在无穷远处有界;而在三维的情形,一般要求解u在无穷远处趋于零.Example1.2考察方程uxx+uyy+uzz=0在单位球面外部区域的Dirichlet外问题,边界条件为uj=1.下面确切地叙述Laplace方程外问题的提法.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-278/85定解条件和定解问题与这三类边界条件相对应的边值问题分别称为第一边值问题(Dirichlet问题)、第二边值问题(Neumann问题)与第三边值问题(Robin问题).若Ω为有界域,则称相应的边值问题为内问题;若Ω为一给定有界闭曲面(线)的外部区域,则称相应的边值问题为外问题.讨论调和方程的各类边值外问题时,应当对于解在无穷远处的性质加以限制.在二维的情形,一般要求解u在无穷远处有界;而在三维的情形,一般要求解u在无穷远处趋于零.Example1.2考察方程uxx+uyy+uzz=0在单位球面外部区域的Dirichlet外问题,边界条件为uj=1.下面确切地叙述Laplace方程外问题的提法.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-278/85定解条件和定解问题Dirichlet外问题:在R3的某一闭曲面上给定连续函数g,要找出这样一个函数u(x;y;z),它在的外部区域Ω′内调和(无穷远处除外),在Ω′[上连续,当点(x;y;z)趋于无穷远时,u(x;y;z)一致地趋于零limr!1u(x;y;z)=0(r=√x2+y2+z2);(1.7)并且它在上取所给的函数值uj=g:(1.8)Neumann外问题:在光滑的闭曲面上给出连续函数g,要求找出这样一个函数u(x;y;z),它在闭曲面的外部区域Ω′内调和,在Ω′[上连续,在无穷远处满足条件(1.7),且在上任一点沿区域Ω′的单位外法线方向n′(指向曲面的内部)的法向导数@u@n′存在,并且满足@u@n′=g:(1.9)齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-279/85定解条件和定解问题调和方程也可按其他坐标系写出.常用的有柱面坐标系或球面坐标系中的形式等,它们在讨论调和方程具有柱对称性或球对称性的解时特别方便.Example1.3Laplace算子在球面坐标(r;;φ)下可以写成△u=1r2@@r(r2@u@r)+1r2sin@@(sin@u@)+1r2sin2@2u@φ2:Example1.4Laplace算子在柱面坐标(r;;z)下可以写成△u=1r@@r(r@u@r)+1r2@2u@2+@2u@z2:齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2710/85变分原理调和方程与Poisson方程的导出一般有两种途径:一种途径是将平衡状态看成一个随时间变化过程的极限;另一种途径是直接从物理问题出发,将物理规律用数学语言表达出来.下面用物理上的最小总位能原理(在一切可能的位移中,真实位移总是使总位能达到最小)来考察薄膜的平衡问题.用u(x;y)表示(x;y)处薄膜的垂直位移,F(x;y)表示垂直外力的密度.记薄膜在Oxy平面上的投影区域为Ω,它具有光滑边界,则在外力F作用下薄膜的总位能为J(u)=Ω8:12266664(@u@x)2+(@u@y)2377775fu9=;dxdy:(1.10)齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2711/85变分原理因为薄膜的边界固定,“一切可能的位移”就是所有具有一定的光滑性,且在边界上等于零的位移函数.例如,按下式V0=fv2C2(Ω)\C1(Ω);vj=0g;(1.11)给定函数集合V0,则一切可能的位移可取为集合V0中元素的全体.最小总位能原理可用如下的数学形式表述:若u为真实位移,则u2V0,且满足J(u)=minv2V0J(v):(1.12)Poisson方程Dirichlet问题:{△u=f;uj=0;(1.13)齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2712/85变分原理Theorem1.5(变分原理)如果满足(1.12)的函数u2V0存在，它必满足(1.13).反之,若u是定解问题(1.13)属于V0的解，则u必为变分问题(1.12)的解。证明:若u是变分问题(1.12)的解,任取w2V0,令v=u+w,其中为任一实数.显然有v2V0,且J(v)=J(u+w)=Ω8:12266664(@(u+w)@x)2+(@(u+w)@y)2377775f
(u+w)9=;dxdy=J(u)+Ω(@u@x@w@x+@u@y@w@yfw)dxdy+22Ω266664(@w@x)2+(@w@y)2377775dxdy:齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2713/85变分原理Theorem1.5(变分原理)如果满足(1.12)的函数u2V0存在，它必满足(1.13).反之,若u是定解问题(1.13)属于V0的解，则u必为变分问题(1.12)的解。证明:若u是变分问题(1.12)的解,任取w2V0,令v=u+w,其中为任一实数.显然有v2V0,且J(v)=J(u+w)=Ω8:12266664(@(u+w)@x)2+(@(u+w)@y)2377775f
(u+w)9=;dxdy=J(u)+Ω(@u@x@w@x+@u@y@w@yfw)dxdy+22Ω266664(@w@x)2+(@w@y)2377775dxdy:齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2713/85变分原理由(1.12),J(u+w)在=0取到极小值,应有ddJ(u+w)=0=0;即Ω(@u@x@w@x+@u@y@w@yfw)dxdy=0:(1.14)由Green公式Ω(@u@x@w@x+@u@y@w@y)dxdy=Ω[@@x(w@u@x)+@@y(w@u@y)w(@2u@x2+@2u@y2)]dxdy=∫w@u@ndsΩ△u
wdxdy:齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2714/85变分原理由于w2V0,wj=0,上式右端第一项为0,从而由(1.14)式得到,对任何给定的w2V0,成立Ω(△u+f)wdxdy=0:(1.15)由此可知,△u+f在Ω中必恒等于0.事实上,若△u+f在Ω中某点(x0;y0)不等于零,设(△u+f)(x0;y0)0,则由△u+f的连续性,必存在(x0;y0)的一个邻域,在此邻域中成立△u+f0.这样,取w为在(x0;y0)点附近大于0,而在其外等于0,就有Ω(△u+f)wdxdy0;而与(1.15)式矛盾.因此,在Ω中必有△u+f0:又由u2V0,因此uj=0,即u为问题(1.13)的解.齐海涛(SDU)数学物理方程2015-11-2715/85变分原理反之,若u2V0是Poiss