小学奥数4-5-2-长方体与正方体(二).教师版

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cbaHGFEDCBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()Sabbcca长方体；长方体的体积：Vabc长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：26Sa正方体，3Va正方体．长方体与正方体的体积立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例体积公式相关要素长方体VabhVSh三要素：a、b、h二要素：S、h正方体3VaVSh一要素：a二要素：S、h不规则形体的体积常用方法：①化虚为实法②切片转化法③先补后去法④实际操作法⑤画图建模法【例1】一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长例题精讲长方体与正方体（二）方体的体积等于立方厘米。【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，6年级，第16题，6分【解析】由题意知长、宽、高的和为2847，又根据题意长、宽、高各不相同，且是整数，所以只能是1、2、4，所以体积为8立方厘米【答案】8【例2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有___________块。【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【解析】对于图c来说，每个小方块都摞了2层，最多有6块。【答案】6【例3】一根长方体木料，体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报，决赛【解析】0.078(1.30.3)0.2(米)．0.2米2分米．1.30.30.30.0780.039(立方米)．所以这根木料的高是2分米；算错后，这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方米．【答案】0.039【例4】如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米。8个这样的铁环依此连在一起长厘米。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第10题，4分【解析】两个铁环连在一起，重叠的部分长16×2-28＝4厘米，8个这样的铁环依此连在一起长16×8-4×7＝100厘米。【答案】100【例5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?高宽长【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，决赛，口试【解析】长方体中高宽1(3655)1802，⑴高长1(4055)2002，⑵长宽1(4855)2402，⑶⑵⑴：长宽20，⑷⑷⑶：长130，从而宽110，代入⑴得高70．所以长方体体积为701101301001000(立方厘米)1.001(立方米)【答案】1.001【例6】某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为235厘米、445厘米、515厘米的尼龙带进行加固（如下图），若每根尼龙带加固时截头重叠都是5厘米，那么这个长方体包装箱的体积是立方米。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初赛，9题【解析】长方形的长为：44551523554180（厘米）；长方形的宽为:51551802275（厘米）；长方形的高为：2355752240（厘米）；长方形的体积为:61807540100.54（立方米）。【答案】0.54【例7】一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯【解析】长方体的高是30(33.662.12.32)2(2.12.3)11(分米).长方体的体积是30192.12.31311110(立方分米)．【答案】1913110【例8】把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．2.4米【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，决赛【解析】96812(平方厘米)，122402880(立方厘米)．所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．【答案】2880【例9】一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】小数报，决赛【解析】设大长方体的宽(高)为a分米，则长为2a，右(左)面积为2a，其余面的面积为22a，根据题意，22222862600aaa所以225a，5a．大长方体的体积2555250(立方分米)．【答案】250【例10】有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为1644平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积(即所成形体的体积)是33224立方厘米.【答案】24【例11】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最多用了_____块木块，最少用了______块木块。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，决赛，第8题，10分【解析】从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。321321223213001300203000【答案】最多25，最少9【例12】边长为5的正方形，被分割成55的小方格。每个小方格上堆放边长为1cm的正方体积木，个数如图所示。在每个积木外露的面上贴一张红纸，其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴。共贴张红纸。恰贴3张红纸的有块积木。1533112543234252342154141【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第11题，12分【解析】从正面看，需要贴5525（张）；从左边看，需要贴5455524（张）；从右边看，需要贴5455524（张）；从前面看，需要5545524（张）；从后面看，需要5545524（张）；再看中间凹进去的部分，需要贴644224426（张），所以一共需要贴252424242426147（张）；先看四条边上，有14块积木贴3张红纸；非边上的积木，有1块积木恰好贴3张，所以一共有14115（块）积木。【答案】共贴26张，共有15块【例13】有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的12与高的13之和比宽多1厘米．这个长方体的体积是立方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯【解析】长的12即宽，所以高的13就是1厘米，高是3厘米，宽是339厘米，长是9218厘米，体积是3918486(立方厘米)．【答案】486【巩固】一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______立方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，决赛【解析】依题意，这个长方体的长、宽、高之和是48412(厘米)，于是它的宽与高都等于12(211)3(厘米)，它的长是326厘米．所以这个长方体的体积是63354(立方厘米)．【答案】54【例14】把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是3288cm，则大长方体的表面积为多少？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量，但我们只知道它们的乘积，但可以从图中发现隐含的数量关系．由图可知每块砖的长、宽、高的比值，两个长等于三个宽，所以长、宽之比为3:2，四个高等于一个长，所以长、高之比为4:1，长、宽、高之比为12:8:3，设砖的长为12单位，那么体积应该为1283288个立方单位，所以一个单位长度就是1厘米，所以大长方体的长、宽、高分别为：24厘米，12厘米，11厘米，所以大长方体的表面积为：24121211112421368（）平方厘米．【答案】1368【例15】有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积．因此，沉入水池中的碎石的体积是330.060.54(米3)，而沉入小水池中的碎石的体积是220.040.16(米3)．这两堆碎石的体积一共是0.540.160.7(米3)．把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3．而大水池的底面积是6636(米3)．所以水面升高了0.70.73636(米)7036(厘米)17118(厘米)．故大水池的水面升高了17118厘米．【答案】17118【例16】一个正方体容器，容器内部边长为24厘米，存有若干水，水深17.2厘米，现将一些碎铁块放入容器中，铁块沉入水底，水面上升2.5厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新放入池中，则水面升高几厘米？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高x厘米，则有水面升高后水的总体积原来水的体积铁块浸入水中的体积，22242417.2xSx铁块的底面积，其中224242.5S铁块的底面积，得到242.5S铁块的底面积，解得19.2x，所以水面升高了19.217.22(厘米)．【答案】2【例17】如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透．另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为立方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，初赛，6年级【解析】可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体，高为3厘米；中间一层为4个长方体立柱，高为4厘米；最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔的长方体.由于长方体容器内原有水深3厘米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯定全部在水中，而水也不可能上升到最上面一层，即恰在中间一层.设水面上升了h厘米，则中间一层在水中的部分恰好为h厘米.由于水面上升是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即：2221512(104)334hh，解得74h，故铁