图论--平面图与对偶图

第四章平面图与对偶图4.1平面图4.2平面图上的欧拉公式4.3对偶图4.1平面图平面上的图(planegraph)：指的是画在平面上的一个图形，它的所有的边都不相交（除顶点外）。平面图(planargraph)：如果一个图经过重画之后，可以画成平面上的一个边不相交的图形，则该图便称为平面图（可嵌入平面(embeding)）。Jordancurve：自身不相交的连续曲线。Jordanclosedcurve：Jordancurve两个端点重合。Jordancurvetheorem：C为在平面上的Jordanclosedcurve，平面的其余部分被分成不相交的开集，分别称为C的外部和内部，则连接内部和外部点的任何连续曲线必与C相交。Th4.1：k5和k3.3不是平面图。同胚(homeomorphism):1）如果两个图能够从一个图G出发，通过在G的边上插入有限多个2次顶点得到，则称这两个图是同胚。2）如果两个图是同构的或通过反复插入或消去2次顶点后是同构的，则称这两个图是同胚。Th4.2：一个图为平面图当且仅当它不含与k5或k3.3同胚的子图。Th4.3：一个图为平面图当且仅当它不含可以缩成k5或k3.3的子图。交叉数：为G画在平面上时，它的边出现相交的最少可能的数目。记为：Cr(G)。4.2平面图上的欧拉公式平面上的一个点x不与Ｇ相交的点：x既不是Ｇ的顶点也不是Ｇ的任何一条边上的点。Ｇ的包含ｘ的面：为平面上所有可以从ｘ出发通过一条不与Ｇ相交的Jordan曲线而能达到的点的集合。无穷面Ｇ可嵌入曲面Ｓ：如果一个图Ｇ能够画在一张曲面Ｓ上，使得它的边除了顶点外再无其它交点。Th:一个图是可嵌入平面它是可嵌入球面。Th4.4：设Ｇ是一个连通的平面上的图，n，m和f分别表示图Ｇ的顶点数，边数和面数，则n-m+f=2。Cor４.5：设Ｇ为具有n个顶点，m条边，f个面和k个分图的平面上的图，则n-m+f=k+1。Cor４.６：ＧV,E为简单连通平面图|V|=n（n2）和|E|=m１）m≤3n-6；２）如果G中不含三角形，则m≤2n-4。Cor４.7：k5和k3.3不是平面图。Th4.8：每个简单平面图均包含一个次数最多为5的顶点。下面内容见书：一个图的厚度：Th4.94.3对偶图1.对偶图(dualgraph)：任意一个平面上的图G，如果：1）在G的每个面Fi中选定一个点vi*作为顶点；2）对应于G的每条边e，画一条线e*，它只与e相交，而不与G的其它边相交，并且连接位于e两边的面Fi中的顶点vi*作为边。这样构成的图称为图G的对偶图，记为G*。Note:1）G中的每个悬点都产生G*的一个自环；2）G中多于一条公共边的面，便产生多重边；3）HG但是H*G*不一定；4）G*是连通的且为平面嵌入的。Lemma4.10：设G为n，m和f且为平面上的连通图，其对偶图G*有n*，m*和f*n*=f，m=m*和n=f*。Th4.11：设G为平面上的连通图，则G**≌G。Th4.12：设G为平面上的连通图且G*为G的对偶图，则G的边集构成G的一个圈对应的G*的边集构成G*的一个割集。Corollary4.13：设G为平面上的连通图且G*为G的对偶图，则G的边集构成G的一个割集对应的G*的边集构成G*的一个圈。