中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)

第二章随机变量及其概率分布班级姓名学号成绩2013-2014-1-5-1.设X的分布函数为111000)(2xxAxxxF确定A并求7.03.0XP。解：由()Fx的右连续性得11lim()1xAFFx220.30.70.70.30.70.30.4PXFF2.检查下面数列，指出哪个是分布律，并说明理由,若是分布律,写出其分布函数.(1)5,4,3,2,1,0,15)(xxxp；解：由5500()115xxxpx及()00,1,,515xpxx知5,4,3,2,1,0,15)(xxxp是分布律。分布函数为0,11/15,123/1523()6/153410/154515xxxFxxxx(2)3,2,1,0,65)(2xxxp。解：由253(3)06p知3,2,1,0,65)(2xxxp不是分布律。3.设离散型随机变量X的分布列为3.04.03.0101,求：(1)X的分布函数；解：010.310()0.70111xxFxxx(2)}21{XP。解：{12}PX21110.30.31FFPX4.某射手的射击命中率为p，现对一目标连续射击，直到第一次击中为止。令X表示到第一次击中为止所用的射击次数，试求X的概率分布。解：设iA={第i击中目标}，1,2,i11PXPAp12111,1,2,kkkPXkPAAAAppkX12…k…kppqp…1kqp…其中1qp。5.已知随机变量X的密度函数为,01,()(2),12,0,kxxfxkxx其它.试求:（1）常数k；解：12011()dd(2)dfxxkxxkxx22kkk第二章随机变量及其概率分布班级姓名学号成绩2013-2014-1-6-即1k（2）X的分布函数；解：()dtxFxft0101120100dt01dt2dt12dt2dt2xxxtxttxttx22000122112212xxxxxxx（3）13{}22PX。解：1322313224PXFF6.设连续型随机变量X的分布函数为01()ln1e1exFxxxx试求:(1)X的概率密度函数解：11e0xfxFxx其它(2)}2/52{XP。解：252252PXFF5lnln2ln52ln227.设随机变量X的概率密度函数为xcexfx,)(||试求：(1)常数c；解：由||--()dd21xfxxcexc得12c(2)X的分布函数；解：1()dted2xxtFxftt001ed0211eded022xtxtttxttx1e0211e02xxxx(3)X落在（0，1）内的概率。解：0,110PXFF11(1e)28.设4.01.03.02.02101~X，试求：(1)X8的分布律；(2)12X的分布律。解：由概率0.20.30.10.4X-10128X-8081621X2125得各函数的分布律为(1)808168~0.20.30.10.4X第二章随机变量及其概率分布班级姓名学号成绩2013-2014-1-7-(2)21241~0.30.30.4X9.设随机变量X的概率密度函数为：,0()0,0xexfxx求2YX的概率密度函数。解：X的分布函数1e0()00xXxFxx，当0y时2()0YFyPYXyP，当0y时，2(){}YFyPYXy{}PyXy()()XXFyFy()1yXFye所以，Y的概率密度为e,0()20,yYYyfyFyy其他10.从1，2，3，4四个整数中随机地取1个，记所取得的数为X，再从1到X中随机地取1个，记所得数为Y。求),(YX的联合分布列及X，Y的边缘分布列。解：由,ijpPXiYjPXiPYjXi1,,1,2,3,440jiijiji可得),(YX的联合分布律和边缘分布律为YX1234ip114000142181800143112112112014411611611611614jp25481348748116其中,iijjpPXxpPYy。11.设二维随机变量),(YX的联合概率密度函数为其它00),(yxeyxfy求:(1)关于X的边缘概率密度函数；解：(),dXfxfxyyed000yxyxxe000xxx(),dYfyfxyx0ed000yyxyye000yyyy(2)}1{YXP；解：1{1},ddxyPXYfxyxy1112222110ded1e2e1exyxxy12．设二维随机变量(,)XY的联合密度函数第二章随机变量及其概率分布班级姓名学号成绩2013-2014-1-8-为：1,01,;(,)0,xyxfxy其它求关于YX,的边缘密度函数。解：(),dXfxfxyyd010xxyx其它2010xx其它(),dYfyfxyx1d110yxy其它1110yx其它13.设二维离散型随机变量),(的联合分布律如下：试求：(1)ba,应满足什么条件？(2)若,相互独立，则ba,的值为多少？解：(1)由23111111182448ijijpab得1124ab(2)设iPip，jPjp，则有311132486Pp由,相互独立，有131111,3246Pppp232112,386Pppp从而有1213,44pp所以12111131111482412apppp212222331134488bpppp14.设X与Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度函数分别为0003)(3xxexfxX0002)(2yyeyfyY，求YXZ的概率密度函数。解：()()()ZXYfzfxfzxdx3032()023()0,032,0006(1)0xYzxzxzzefzxdxzeedxzzeez15.已知随机变量X和Y的联合概率密度为其它00,0),()(yxkeyxfyx第二章随机变量及其概率分布班级姓名学号成绩2013-2014-1-9-(1)试确定常数k;解：由()00dd1xykexyk即1k(2)求Y,X的联合分布函数；解：由,(,)ddxyFxyfuvvu00edd0,00xyuvvuxy其它1e1e0,00xyxy其它(3)求20,10YXP；解：20,10YXP1200eddxyyx121e1e(4)求YXP；解：YXP0020,ddeddeed12xyxxyxxfxyxyyxx(5)X和Y是否相互独立。解：X和Y的边缘概率密度为,dXfxfxyy0ed000e000xyxyxxxx,dYfyfxyx0ed000e000xyyxyyyy由,XYfxyfxfy知X和Y是否相互独立。