关于圆柱壳在法向载荷下的弯曲及应用——袁明清

关于圆柱壳在法向载荷下的弯曲及应用学院：机电工程学院专业：机械电子工程班级：机研——10姓名：袁明清学号：2010301330106日期：2011.6.162关于圆柱壳在法向载荷下的弯曲及应用摘要：通过建立壳体的内力与壳体所受载荷之间的关系，推导出一般壳体的平衡微分方程以及圆柱壳的平衡微分方程，应用推广莱维对矩形薄板的解法，引入单三角级数形式的位移函数,求解了法向任意分布载荷作用下对边简支时圆柱壳的环向弯曲问题,把线载荷近似为微元矩形区的分布载荷,推导出了线载荷作用下圆柱壳的环向弯曲变形计算式,并给出了线载荷为均布和线性变化时的具体解.关键词：圆柱壳,法线载荷,三角级数，位移函数1、引言壳体结构广泛应用于各种工程结构，因而对壳体的静力学和动力学问题有大量的研究成果。从研究情况来看，随着工程应用的深入，壳体动力学方面成了研究的热点，如复合材料壳体、层合结构壳体的稳定性和动力响应问题等等；从研究方法来看,主要采用三角级数求解方法和有限元方法来处理高阶的微分方程,这两种方法均用基函数来表示位移,前者的基为三角函数,而后者的基为形函数。壳体的静力分析中,不同的边界条件给壳体问题的求解带来了一定的困难,因而求解时对边界条件的正确分析,以及对基函数的设计很重要。大多数研究都集中在分布载荷作用下圆柱壳轴向(α向)弯曲问题，而对于环向（β向)弯曲问题的研究相对较少。本文通过引入单三角级数形式的位移函数,并分析边界条件,求解圆柱壳在线载荷作用下的环向弯曲变形问题,给出线载荷为均布和线性化时的具体解。2、理论基础首先来建立壳体的内力与壳体所受载荷之间的关系，即推导出一般壳体的平衡方程。为此，不妨假设任一微分壳体PP1P2P3的平衡，如下图1、图2所示：3图1内力与横向剪力分析图图2弯矩与扭矩分析图对图中所示的各种力、力矩进行投影分析，列出平衡方程，最终可得薄壳的平衡微分方程：4⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂=−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂++−=++∂∂+∂∂+∂∂−∂∂=++∂∂+∂∂+∂∂−∂∂0)()(0)()(0)()()(0)()(0)()(112121222112123212211222121212111121221SSSSTTSTTTTSTTTTABFBMMBMAAMABFAMMAMBBMABqAFBFFFABABqFABBFFBFBBFABqFABAFFAFBBFααββββααβακκκααββκββαα(1)对于（1）式，命A=B=1，k1=0,k2=1/R,即得到柱壳的平衡微分方程：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=−∂∂+∂∂=−∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+−=++∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00000111222123212221221121SSSSTSTTTTFMMFMMqFFRFqRFFFqFFαββαβααββα（2）其中2SFR表示横向剪力2SF对环向平衡的影响。在柱壳中，这个影响通常是很小的，所以可由忽略不计。同时在A=B=1，k1=0,k2=1/R条件下，将薄壳的几何方程代入其物理方程中，即得出弹性方程：()122212221222222221221221121()()(1)TTTSSEuvwFREvwuFREuvFwwMDwwMDwMDFDwFDwδμμαβδμμβαδμβαμαβμβαμαβαβ⎫⎡⎤⎛⎞∂∂=++⎪⎢⎥⎜⎟−∂∂⎝⎠⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎛⎞∂∂⎪=++⎢⎥⎜⎟⎪−∂∂⎝⎠⎣⎦⎪⎛⎞∂∂⎪=+⎜⎟⎪+∂∂⎝⎠⎪⎪∂∂=−+⎪∂∂⎬⎪∂∂⎪=−+∂∂⎪⎪∂⎪=−−∂∂⎪∂=−∇∂∂=−∇∂⎭(3)⎪⎪⎪⎪⎪5其中()2232222,121EDδαβμ∂∂∇=+=∂∂−于是将（3）式代入到（2）式的前三项中，进行简化得出圆柱壳的基本微分方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫−=∇++∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−+∂∂+∂∂∂+−−=∂∂+∂∂∂++∂∂−+∂∂3242222222221222222112111)21(21121)21(qEwRwvRuRqEwRvuqEwRvuδμδβαμδμβαμββαμδμαμβαμβμα（4）此处我们仅对圆柱壳的法向载荷问题进行讨论，因此对于（4）式中令q1=q2=0即可得到圆柱壳在法向载荷作用下的基本微分方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫−=∇++∂∂+∂∂=∂∂+∂∂−+∂∂+∂∂∂+=∂∂+∂∂∂++∂∂−+∂∂324222222222222112101)21(21021)21(qEwRwvRuRwRvuwRvuδμδβαμβαμββαμαμβαμβμα（5）引用位移函数),(βαFF=，把中面位移表示成为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∇=∂∂++∂∂∂∂−=∂∂−∂∂∂∂=FRwFvFu422222222])2([)(αμββαμβα（6）即可将内力用位移函数F表示成如下：6⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∇∂∂−=∇∂∂−=∇∂∂∂−−=∇∂∂+∂∂−=∇∂∂+∂∂−=∂∂∂−=∂∂=∂∂∂=FRDFFRDFFRDMFRDMFRDMFEFFEFFEFSSTTT6261421242222242222134124422241)1()()(βαβαμαμββμαβαδαδβαδ(7)其中：TF为拉力，SF为剪力，M为弯矩。3、分析模型在圆柱壳上建立图3所示的曲线坐标系，其中β=0和β=b的边界为简支边，而α=0和α=a的边界为自由边,壳体中面半径为r，厚度为δ,壳体材料的弹性模量和泊松比分别为E和μ。图3圆柱壳弯曲分析模型3.1、法向分布载荷下环向弯曲变形的计算应用上述理论公式（5）、（6），在求解对边简支圆柱壳受有法向分布载荷作用的弯曲问题时,可以推广莱维对矩形薄板的解法，把位移函数取为单三角级数：71(,)()sinmmmFbπβαβψα∞==∑（8）显然，这样就总可以满足圆柱壳两侧边（β=0和β=b）简支的边界条件：22022(,,,)0(,,,)0TTbuwFMuwFMββ====为了求得式（8）中的()mψα，将法向载荷(,)Zαβ展开为与（8）式右边相同的三角级数，可以得到：（9）联立公式（5）、（6）、（8）和（9），整理化简后比较方程两边的系数，从而可以得到()mψβ的八阶常微分方程：42242202()(,)sinbmmmmdEZddrDrDbδλλψααβλββα⎡⎤⎛⎞−+=⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫（10）其中32,12(1)mmEDbπδλμ==−由微分方程（10）可知其特征方程为：（*）因为420mErDδλ恒成立，所以该方程具有四对复根，不妨假设其分别为：,,,mmmmmmmmaibaibcidcid±−±±−±其中mmmmabcd、、、均为实数，m取1,2,3,4。根据公式（10）右边积分的结果可以选取该微分方程的一个特解()*mψα，故而()mψα的解总可以表示为：()()*12345678=sincoscossinsincoscossinmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmCchabCchabCshabCshabCchcdCchcdCshcdCshcdψαψααααααααααααααααα++++++++（11）式(11)中的任意常数以(1,2,...,8)imCi=由α=0和α=a处的自由边界条件来确定，即11011(,)0,(,)0SSaMFMFαα====。这样,由式(6),式(8)和式(11)就可确定柱()012,(,)sinsinbmmmZZdbbbπβπβαβαββ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∫()422420mmmErrDδλλ−+=8壳中面的位移场,以及内力场。3.2、法向线载荷下环向弯曲变形的计算若在βη=处作用有线载荷()Zα,可近似认为在βη=处微小矩形区域adβ×,法向载荷的分布为()Zdαβ,在其他区域的分布为零，则由式(10)可得：()4224222()sinmmmmZdEdrDrDbαδλλψαληα⎡⎤⎛⎞−+=⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦（12）在给出()Zα的具体形式后,就可以由式(12)求出()mψα;而从式(11)和式(12)可知,对于不同的线载荷形式,()*mψα不同。下面给出()Zα为均布和线性变化时,特解()*mψα的具体形式。当()Zqα=时，()*82sinmmmqrDbληψαλ=（13）当()Zqαα=时，参考相应的文献可得，()8*2sinmmmqrDbλληψαα=（14）若α=0和α=a的边界为简支边,而β=0和β=b的边界为自由边时,亦可用与上述相似的方法求解在αξ=处作用有线载荷()Zβ时圆柱壳的轴向弯曲变形问题.4、实例应用如图3中，已知半径r=3.05m，厚度δ=0.1m，纵向边长a=3m，环向边长brπ=，均布线载荷作用在2bη=处，位于柱壳的顶端，并设q=500N/m，材料的弹性模量E=2.06×105MPa，泊松比μ=0.3。根据上述参数和线载荷作用下的理论分析，应用公式（*）、公式（13）和公式（11）分别求解出()mψα的特征值mr、特解()*mψα和常数imC。根据已知条件因为,mmbrbπλπ==，所以mmrλ=；同时3212(1)EDδμ=−，则9242442236212(1)12(1)()mEEmmrDrErrδδμμλδδ−−==且()862*383822sin()2sin24(1)2sin2()12(1)mmmmbqqqrmbEmrDbEmrrrπλημπψαδλδππμ−===−如当m=1时，应用特征方程（*）可得：()422411120ErrDδλλ−+=代入已知数据整理有()4210.027777780.001950446r−=−利用Matlab解得1r：1(1.6681.651,1.6681.651,0.0080.008,0.0080.008)riiii=±−±±−±应用公式（13）可得：()62*118312sin24(1)sin2qqrrDbEλημπψαλδπ−==代入已知数据整理可得：()*10.787ψα=同理，应用公式（11）可以求解出：888811213141334516171813.41910,3.61610,3.56010,3.38310,1.36210,0.109,1.38210,2.41910CCCCCCCC−−−−−−−=−×=×=−×=×=−×=−=×=−×当m=2时，同理解得：2(1.6941.627,1.6941.627,0.0340.033,0.0340.033)riiii=±−±±−±()*20ψα=12223242526272820CCCCCCCC========当m=3时，同理解得:3(1.7381.588,1.7381.588,0.0780.072,0.0780.072)riiii=±−±±−±()*30.00012ψα=−9999132333436567536373833.12010,4.54210,4.50610,3.07210,1.79310,1.70510,2.03710,1.69710CCCCCCCC−−−−−−−−=×=−×=×=−×=×=×=−×=×10当m=4时，同理解得：4(1.8021.538,1.8021.538,0.1430.122,0.1430.122)riiii=±−±±−±()*40ψα=14243444546474840CCCCCCCC========应用公式（6）和（7）可以分别求解出圆柱壳中面的位移、拉力、剪力和弯矩。5.结论(l)当圆柱壳在α=0和α=a的边界上为简支时，不论它在环向是开敞的还是闭合的，都可以应用该文中所推广应用莱维对矩形薄板的解法进行求解计算。(2)当圆柱壳在环向开敞时，解答公式（11）中的任意常数可以采用β=0和β=b处的边界条件来确定。(3)当圆柱壳在环向闭合时，解答公式（11）中的任意常数可以采用β方向的周期性条件来确定，即采用下列的八元联立方程来确定：()()()020,1,2,...,7nnmmnnRddnddββπψβψβββ==⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。(4)运用文中方法,可以类似地处理板对边简