统计学第七章-参数估计

第七章参数估计§7.1参数估计的一般问题§7.2一个总体参数的区间估计§7.3两个总体参数的区间估计§7.4样本量的确定学习目标1.估计量与估计值的概念2.点估计与区间估计的区别3.评价估计量优良性的标准4.一个总体参数的区间估计方法5.两个总体参数的区间估计方法6.样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计统计推断的过程样本总体样本统计量如：样本均值、比例、方差§7.1参数估计的一般问题1、参数估计（ParameterEstimation），用样本估计量估计总体估计值。（1）、点（值）估计（近似值）（2）、区间估计（近似范围）一、估计量和估计值●估计：人人都做过。如：上课时，你会估计一下老师提问你的概率有多大？过马路闯红灯时，你会估计一下被罚款的概率有多大？推销员年初时要估计今年超额完成任务的概率有多大？(1)估计量：用来估计总体参数的样本统计量。如：样本算术平均数、样本中位数、样本标准差、样本方差等。–例如:样本均值就是总体均值的一个估计量(2)参数用表示，估计量用表示(3)估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值–如果样本均值x=80，则80就是的估计值2、估计量与估计值(estimator&estimatedvalue)ˆ参数估计的方法矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估计方法点估计区间估计二、点估计(pointestimation)PopulationParameter总体参数PointEstimatorisasinglevalue(statistic)usedtoestimateapopulationvalue(parameter).1、用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计Pointestimation点估计PopulationSampleParameterStatisticFormula•Mean,µ•Variance,s2•Proportion,pxx=xin1–2)–(22nxixss=pp=xsuccessesntrials总体参数样本统计量计算公式2、点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等3、点估计用样本估计量直接作为总体均数的估计值，未考虑抽样误差,没有给出估计值接近总体参数程度的信息。三、区间估计(intervalestimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量–比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计的图示x95%的样本-1.96sx+1.96sx99%的样本-2.58sx+2.58x90%的样本-1.65sx+1.65sxxsxzxs2=（1）将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平（2）表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例（3）常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.101、置信水平(confidencecofficient)（1）由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间（2）统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间（3）用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值–我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个2、置信区间(confidenceinterval)例：虽然不能知道某校全体女大学生身高均数的确切数值，但有95%的把握说校全体女大学生身高均数在163.0--164.5cm之间，有99%的把握说校全体女大学生身高均数在162.7–164.7cm之间。换句话说，做出校全体女大学生身高均数为163.0--164.5cm的结论，说对的概率是95%，说错的概率是5%；做出校全体女大学生身高均数为162.7–164.7cm的结论，说对的概率是99%，说错的概率是1%。3、置信区间与置信水平均值的抽样分布(1-)区间包含了的区间未包含=x1–/2/2xsxThefactorsthatdeterminethewidthofaconfidenceintervalare:4、影响置信区间宽度的因素有：（1）.Thesamplesize,n.样本容量n（2）.Thevariabilityinthepopulation总体数据的离散程度，用s来测度（3）.Thedesiredlevelofconfidence.置信水平(1-)，影响z的大小nxss=5、标准误（Standarderror)(1)、概念抽样误差：由于抽样引起的样本统计量与总体参数之间的差异。标准误：表示抽样误差大小的指标；即样本均值的标准差；(3)、（样本均值）标准误意义：反映抽样误差的大小。标准误越小，抽样误差越小，用样本均数估计总体均数的可靠性越大。与样本量的关系：S一定，n↑，标准误↓(2)、（样本均值）标准误的计算nssx=nsxs=四、评价估计量的标准1、无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P()BA无偏有偏ˆˆ2、有效性(efficiency)有效性：与离散度相联系。对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布1ˆ2ˆP()ˆˆ3、一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P()ˆˆ7.2一个总体参数的区间估计7.2.1总体均值的区间估计7.2.2总体比例的区间估计7.2.3总体方差的区间估计Aconfidenceintervalisarangeofvalueswithinwhichthepopulationparameterisexpectedtooccur.区间估计给出总体参数的近似范围．IntervalEstimation区间估计一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差2sxp2sp总体均值的区间估计(正态总体、s２已知，或非正态总体、大样本)总体均值的区间估计(大样本)1.假定条件–总体服从正态分布,且方差(s２)未知–如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.使用正态分布统计量z3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1,0(~Nnxzs=)(22未知或ssnszxnzxIntervalEstimatesnZXs2)1,0(~NZAnIntervalEstimatestatestherangewithinwhichapopulationparameterprobablylies.区间估计表明总体参数可能存在的范围．IntervalEstimatesTheintervalwithinwhichapopulationparameterisexpectedtooccuriscalledaconfidenceinterval.总体参数可能存在的区间称为置信区间．Thetwoconfidenceintervalsthatareusedextensivelyarethe95%andthe90%.常用的置信水平及Ｚ值为：nZXs2Z=1.96Z=1.65InterpretationofConfidenceIntervalsFora95%confidenceintervalabout95%ofthesimilarlyconstructedintervalswillcontaintheparameterbeingestimated.95%ofthesamplemeansforaspecifiedsamplesizewillliewithin1.96standarddeviationsofthehypothesizedpopulationmean.总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为28.109,44.10192.336.105251096.136.1052===nzxs该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g36.105=x总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为63.41,37.3713.25.393677.7645.15.392===nszx投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁5.39=x77.7=s总体均值的区间估计(正态总体、s２未知、小样本)总体均值的区间估计(小样本)1.假定条件–总体服从正态分布,且方差(s２)未知–小样本(n30)2.使用t分布统计量3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1(~=ntnsxtnstx2t分布t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)zt值表横坐标：自由度，df纵坐标：概率，p,即曲线下阴影部分的面积;表中的数字：相应的|t|界值。t值表规律：(1)自由度（df）一定时，p与t成反比;(2)概率（p）一定时，df与t成反比;总体均值的区间估计(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，s2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为2.1503,8.14762.1314901677.24131.214902===ntxs该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时1490=x77.24=s总体比例的区间估计总体比例的区间估计1.假定条件–总体服从二项分布–可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量z)1,0(~)1(Nnpp