耦合电感的计算

第6章耦合电感电路和理想变压器（时间：4次课，8学时）耦合电感和变压器在工程中有着广泛地应用。本章首先讲述了耦合电感的基本概念，然后介绍了耦合电感的去耦等效，最后分析了空心变压器电路，重点讨论理想变压器的特性，从而对变压器有个初步认识。第6章耦合电感电路和理想变压器6.1耦合电感元件6.2耦合电感的去耦等效6.3空心变压器电路的分析6.4理想变压器6.1耦合电感元件6.1.1耦合电感的基本概念6.1.2耦合电感元件的电压、电流关系6.1.3同名端6.1.1耦合电感的基本概念图6.1是两个相距很近的线圈（电感），当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中就会产生自感磁通Φ11，而其中一部分磁通Φ21，它不仅穿过线圈1，同时也穿过线圈2，且Φ21≤Φ11。同样，若在线圈2中通入电流i2，它产生的自感磁通Φ22，其中也有一部分磁通Φ12不仅穿过线圈2，同时也穿过线圈1，且Φ12≤Φ22。像这种一个线圈的磁通与另一个线圈相交链的现象，称为磁耦合，即互感。Φ21和Φ12称为耦合磁通或互感磁通。假定穿过线圈每一匝的磁通都相等，则交链线圈1的自感磁链与互感磁链分别为ψ11=N1Φ11，ψ12=N1Φ12；交链线圈2的自感磁链与互感磁链分别为ψ22=N2Φ22，ψ21=N2Φ21。图6.1耦合电感元件类似于自感系数的定义，互感系数的定义为：上面一式表明线圈1对线圈2的互感系数M21，等于穿越线圈2的互感磁链与激发该磁链的线圈1中的电流之比。二式表明线圈2对线圈1的互感系数M12，等于穿越线圈1的互感磁链与激发该磁链的线圈2中的电流之比。可以证明M21=M12=M我们以后不再加下标，一律用M表示两线圈的互感系数，简称互感。互感的单位与自感相同，也是亨利（H）。12121iM21212iM因为Φ21≤Φ11，Φ12≤Φ22，所以可以得出两线圈的互感系数小于等于两线圈自感系数的几何平均值，即上式仅说明互感M比小（或相等），但并不能说明M比小到什么程度。为此，工程上常用耦合系数K来表示两线圈的耦合松紧程度，其定义为则可知，0≤K≤1，K值越大，说明两线圈间的耦合越紧，当K=1时，称全耦合，当K=0时，说明两线圈没有耦合。21LL21LL21LLKM21LLMK21LLM耦合系数K的大小与两线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有关。如图6.2(a)所示的两线圈绕在一起，其K值可能接近1。相反，如图6.2(b)所示，两线圈相互垂直，其K值可能近似于零。由此可见，改变或调整两线圈的相互位置，可以改变耦合系数K的大小；当L1、L2一定时，也就相应地改变互感M的大小。图6.2耦合系数k与线圈相互位置的关系当有互感的两线圈上都有电流时，穿越每一线圈的磁链可以看成是自磁链与互磁链之和。当自磁通与互磁通方向一致时，称磁通相助，如图6.3所示。这种情况，交链线圈1、2的磁链分别为上式中，，分别为线圈1、2的自磁链；，分别为两线圈的互磁链。12221222MiiL6.1.2耦合电感元件的电压、电流关系21112111MiiL11221221设两线圈上电压电流参考方向关联，即其方向与各自磁通的方向符合右手螺旋关系，则(6-6a)(6-6b)dtdiMdtdiLdtdu12222dtdiMdtdiLdtdu21111图6.3磁通相助的耦合电感图6.3磁通相消的耦和电感dtdiMdtdiLdtdu21111dtdiMdtdiLdtdu12222如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通相消，如图6.3所示，耦合电感的电压、电流关系方程式为：由上述分析可见，具有互感的两线圈上的电压，在设其参考方向与线圈上电流参考方向关联的条件下，等于自感压降与互感压降的代数和，磁通相助取加号；磁通相消取减号。对于自感电压、取决于本电感的u、i的参考方向是否关联，若关联，自感电压取正；反之取负。而互感电压、的符号这样确定：当两线圈电流均从同名端流入（或流出）时，线圈中磁通相助，互感电压与该线圈中的自感电压同号。即自感电压取正号时互感电压亦取正号，自感电压取负号时互感电压亦取负号；否则，当两线圈电流从异名端流入（或流出）时，由于线圈中磁通相消，故互感电压与自感电压异号，即自感电压取正号时互感电压取负号，反之亦然。dtdiL11dtdiL22dtdiM2dtdiM16.1.3同名端互感线圈的同名端是这样规定的：当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端，用标志“”或“*”表示。例如图6.5(a)，a端与c端是同名端(当然b端与d端也是同名端)；b端与c端(或a端与d端)则称为非同名端(或称异名端)。图6.5互感线圈的同名端这样规定后，如果两电流不是同时从两互感线圈同名端流入(或流出)，则各自产生的磁通相消。有了同名端规定后，像图6.5(a)所示的互感线圈在电路中可以用图6.5(b)所示的模型表示，在图6.5(b)中，设电流i1、i2分别从a、d端流入，磁通相助，如果再设各线圈的u、i为关联参考方向，那么两线圈上的电压分别为dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222(6-9)如果如图6.6所示那样，设仍是从a端流入，不是从c端流入，而是从c端流出，就判定磁通相消。由图6.6所示可见，两互感线圈上电压与其上电流参考方向关联，所以dtdiMdtdiLu1222dtdiMdtdiLu2111图6.6磁通相消情况互感线圈模型(6-8)图6.7所示是测试互感线圈同名端的一种实验线路，把其中一个线圈通过开关S接到一个直流电源上，把一个直流电压表接到另一线圈上。当开关迅速闭合时，就有随时间增长的电流从电源正极流入线圈端钮1，这时大于零，如果电压表指针正向偏转，这说明端钮2为实际高电位端(直流电压表的正极接端钮2)，由此可以判定端钮1和端钮2是同名端；如果电压表指针反向偏转，这说明端钮为实际高电位端，这种情况就判定端钮1与端钮是同名端。图6.7互感线圈同名端的测定22关于耦合电感上电压电流关系这里再强调说明两点：(1)耦合电感上电压、电流关系式形式有多种形式，不仅与耦合电感的同名端位置有关，还与两线圈上电压、电流参考方向设的情况有关。若互感两线圈上电压电流都设成关联参考方向，磁通相助时可套用式(6-8)，磁通相消时可套用式(6-9)。若非此两种情况，不可乱套用上述两式。(2)如何正确书写所遇各种情况的耦合电感上的电压、电流关系是至关重要的。通常，将耦合线圈上电压看成由自感压降与互感压降两部分代数和组成。先写自感压降：若线圈上电压、电流参考方向关联，则其上自感电压取正号即。反之，取负号即－。再写互感压降部分：观察互感线圈给定的同名端位置及所设两个线圈中电流的参考方向，①若两电流均从同名端流入(或流出)，则磁通相助，互感压降与自感压降同号，即自感压降取正号时互感压降亦取正号，自感压降取负号时互感压降亦取负号。②若一个电流从互感线圈的同名端流入，另一个电流从互感线圈的同名端流出，磁通相消，互感压降与自感压降异号，即自感压降取正号时互感压降取负号，自感压降取负号时互感压降取正号。只要按照上述方法书写，不管互感线圈给出的是什么样的同名端位置，也不管两线圈上的电压、电流参考方是否关联，都能正确书写出两线圈的电压、电流之间关系式。例6-1图6.8(a)所示电路，已知R1=10Ω，L1=5H，L2=2H，M=1H，i1（t）波形如图6.8(b)所示。试求电流源两端电压uac（t）及开路电压ude（t）。图6.8例6-1图解：由于第2个线圈开路，其电流为零，所以R2上电压为零，L2上自感电压为零，L2上仅有电流i1在其上产生的互感电压。这一电压也就是d、e开路时的电压。根据i1的参考方向及同名端位置，可知由于第2个线圈上电流为零，所以对第1个线圈不产生互感电压，L1上仅有自感电压电流源两端电压1dedditutMt1bc1dditutLt1acabbc111dditutututRitLt下面进行具体的计算。在0≤t≤时，i1（t）=10tA(由给出的波形写出)所以ab11bcacabbc1de1010100Vdd51050Vdd10050Vd10d110VddiiutRitttiutLtttutututttiutMtt在1≤t≤2s时所以在t≥2s时i1（t）=0(由观察波形即知)1(1020)ittab11bc1acabbc1de10(1020)(100200)Vdd5(1020)50Vdd()(100150)Vd1020d110VddutRitttiutLtttutututttiutMtt所以uab=0，ubc=0，uac=0，ude=0故可得根据uac、ude的表达式，画出其波形如图6.8(c)、图6.8(d)所示。acde10050V01s100150V12s010V01s10V12s0ttuttttutt其余其余例6-2图6.9所示互感线圈模型电路，同名端位置及各线圈电压、电流的参考方向均标示在图上，试列写出该互感线圈的电压、电流关系式(指微分关系)。图6.9例6-2图解：先写出第1个线圈L1上的电压u1。因L1上的电压u1与i1参考方向非关联，所以u1中的自感压降为。观察本互感线圈的同名端位置及两电流i1、i2的流向，可知i1从同名端流出，i2亦从同名端流出，属磁通相助情况，u1中的互感压降部分与其自感压降部分同号，即为。将L1上自感压降部分与互感压降部分代数和相加，即得L1上电压1211ddddiiuLMtt11ddiLt2ddiMt再写第2个线圈L2上的电压u2。因L2上的电压u2与电流i2参考方向关联，所以u2中的自感压降部分为。考虑磁通相助情况，互感压降部分与自感压降部分同号，所以u2中的互感压降部分为。将L2上自感压降部分与互感压降部分代数和相加，即得L2上电压2122ddddiiuLMtt22ddiLt1ddiMt此例是为了给读者起示范作用，所以列写的过程较详细。以后再遇到写互感线圈上电压、电流微分关系，线圈上电压、电流参考方向是否关联、磁通相助或是相消的判别过程均不必写出，直接可写(对本互感线圈)12112122ddddddddiiuLMttiiuLMtt6.2耦合电感的去耦等效两线圈间具有互感耦合，每一线圈上的电压不但与本线圈的电流变化率有关，而且与另一线圈上的电流变化率有关，其电压、电流关系式又因同名端位置及所设电压、电流参考方向的不同而有多种表达形式，这对分析含有互感的电路问题来说是非常不方便的。那么能否通过电路等效变换去掉互感耦合呢？本节将讨论这个问题。6.2耦合电感的去耦等效6.2.1耦合电感的串联等效6.2.2耦合电感的T型等效6.2.1耦合电感的串联等效图6.10(a)所示相串联的两互感线圈，其相连的端钮是异名端，这种形式的串联称为顺接串联。由所设电压、电流参考方向及互感线圈上电压、电流关系，得(6-10)式中(6-11)称为两互感线圈顺接串联时的等效电感。由式(6-10)画出的等效电路如图6.10(b)所示。121212abddddddddd(2)dddiiiiuuuLMLMttttiLLMtiLtab122LLLM图6.10互感线圈顺接串联图6.11互感线圈反接串联图6.11(a)所示的为两互感线圈反接串联情况。两线圈相连的端钮是同名端，类似顺接情况，可推得两互感线圈反接串联的等效电路如图6.11(b)所示。图中(6-12)ab122LLLM6.2.2耦合电感的T型等效耦合电感的串联去耦等效属于二端电路等效，而耦合电感的T型去耦等效则属于多端电路等效，下面分两种情况加以讨论。