DSP习题答案-8(2017)

8.2已知两个周期序列𝑥̃[𝑛]和𝑦̃[𝑛]，周期为5，试计算他们的周期卷积。𝑥̃[𝑛]={2,−1,2,−2,−3}0≤𝑛≤4𝑦̃[𝑛]={2,−3,1,−2,−3}0≤𝑛≤4解：2-12-2-32-31-2-3----------------------------4-24-4-69-63-669-2-32-12-2-3-446-42-4463-669-63-6694-89-15-26-51296-512910-1321-6-2𝑥̃[𝑛]∗𝑦̃[𝑛]=∑𝑥̃[𝑚]𝑦̃[𝑛−𝑚]𝑁−1𝑚=0𝑥̃[𝑛]和𝑦̃[𝑛]的周期卷积为{10-1321-6-2}的周期函数（N=5）。3、计算如下序列的DFT（a）[]{1,1,0,1},03axnn解：222334440[][]1{1,12,1,12},03jknjkjkaanXkxneeejjk(b)[]{1,2,3,4},03bxnn解：令2jNNWe232344440[][]1234{10,22,2,22},03jknkkkbbnXkxne(c)[]{4,3,2,1},03cxnn解：232344440[][]432{10,22,2,22},03jknkkkccnXkxne(d)[]{1,2,3,4,1,2,3,4},07dxnn解：[]{20,0,44,0,4,0,44,0},07dXkjjk(e)[]{1,2,3,4,4,3,2,1},07exnn解[]{20,5.832.41,0,0.1720.41,0,0.1720.41,0,5.832.41},07eXkjjjjk(f)[]{1,0,2,0,3,0,4,0},07fxnn解：[]{10,22,2,22,10,22,2,22},07fXkjjjjk4、计算序列的DFT，其中N为偶数221N-1N00()[][]X[][].[].1aknknNjjNannaxnnkxnene解：00022211000()[][],01X[][].[].bknknknNNjjjNNNbnnbxnnnnNkxnennee解：4()2N22221N/2-144NNN0m01even()[]0nodd1101,...,12X[][].1102[][]2ckNjjkknkmNkkjjjjNcnncxneeNkkxneeeeNkNXkXk为为解：d221/2100210/21()[]0/21/20[][].0,2,4,22,1,3,11knknNNjjNNdnnkjNnNcxnNnNNkXkxneekNkNe，解：005N,01()DTFT(b)NDFT(c)2/,[]NDFTnNakNkxn0jn0、已知一个点复数序列x[n]=e计算x[n]的计算x[n]的点为整数，计算的点00102220k02(k)01[]11()[]|,011()2/10[],011NjnnnkNkkNNkkNxnebXkkNckNkkXkkNNkk00000-j()N-j()nj-j()-j()Nj-j()0-j2()-j解：e(a)X(e)=eeeX(e)e代入得ee6、解：由题可得：210[][],01NjknNnXkxnekN，而且N为偶数；(1)22[][][/2][][][]2[],010NNjkNunxnxnNUkXkeXkXkkkNk，为奇数，为偶数（2）22[][][/2][][][]0,012[],NNjkNvnxnxnNVkXkeXkkkNXkk为奇数时，为偶数时（3）2()2[](1)[][][][][],012NjnnjnNNynxnexnexnNYkXkkN7、已知一个N点长的实序列x[n]，0≤n≤N-1，对应的N点DFT为X[k]，0≤k≤N-1。求证：(a)X[0]为实数(b)如果N为偶数，则X[N/2]为实数(c)如果N为偶数，x[n]=-x[n+N/2]，那么对于所有的偶数k，0≤k≤N-1，有X[k]=0(d)如果N为4的倍数且x[n]=-x[n+N/4]，那么对于所有的k=4l，0≤l≤N/4-1，有X[k]=021100[][][0][][][0]knNNjNnnXkxneXxnxnX证明：(a)由得为实序列是实数。***N()[][][]NN[][][]222N[]2NbxnXkXkNXXXX为实序列,则是实数2N)12(c)x[n]=-[][]-[][](1)[]2[]-[][]0kjjkkNNNxnXkeXkeXkXkXkXkXk（-由圆周位移特性当k为偶数时，2N)42()x[n]=-[][]-[][]4[]-[][]0kkjjNNdNxnXkeXkeXkXkXkXk（-由圆周位移特性当k为4的倍数时，418[]()()()2/4,0,1,2,343210123456789[]00001111110000[4]00000000111111[4]11111100000000[]1122112211[]{2,2,1,1jjkxnDTFTXeaXekknxnxnxnxnxn11、已知有限长序列如图，其为对按照进行采样得X[k],画出4点IDFT为x[n],n=0,1,2,3222},03()()2/8,0,1,...,7[]6[]={1,1,1,1,1,10,0}07jknbXekkxnxnn对按照进行采样得X[k],画出8点IDFT为x[n],n=0,1,...,7解：长度为，进行8点DFT不会混叠，则，，9、由题可得25602560[][],051[][],056jknnjknkXkxnekxnXken所以(a)501111[3][](10322322332)663jkkxXkejjjj(b)[]{1,1.0774,2.0774,0,0.9226,0.0774},05xnn10、已知两个长度为8的离散序列g[n]和h[n]，0≤n≤7，它们的8点DFT分别是G[k],H[k]，0≤k≤7(a)如果G[k]={1+j2,-2+j3,-1-j2,0,-3+j,8+j5,2+j5,1},且h[n]=g[n-38],试确定H[k](b)如果g[n]={-2,3,0,5,7,2,6,5}且H[k]=G[k-48],试确定h[n]023331518214424443342424][][][]{12,(23),(12),0,3,(85),(25),}{12,(23),(12),0,3,(85),(25),}(knjNNkjjjjjjjjjjjeGkHkeGkjjejejjejeejjejejjejee0解：(1)由圆周位移特性g[n-n：022)[]][][]cos()[]{2,3,0,5,7,2,6,5}knjNNjnegnhnegnngn0由圆周位移特性G[k-k8.11、已知一个N点长的序列x[n],其N点DFT为𝑋[𝑘],0≤k≤N-1。对x[n],填(M-1)N个零点，可得另外一个MN点长的序列y[n]，其MN点的DFT为𝑌[𝑘],0≤k≤MN-1。试证明𝑋[𝑘]=𝑌[𝑀𝑘],0≤k≤N−1证：由题可知，M必须≥1，当M=1时，(M-1)N=0，x[n]=y[n]，所以𝑋[𝑘]=𝑌[𝑘]=𝑌[𝑀𝑘]当M≥2时：𝑌[𝑀𝑘]=∑𝑦[𝑛]𝑀𝑁−1𝑛=0𝑒−𝑗2𝜋𝑀𝑘𝑛𝑀𝑁=∑𝑦[𝑛]𝑀𝑁−1𝑛=0𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑛𝑁=∑𝑥[𝑛]𝑁−1𝑛=0𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑛𝑁=𝑋[𝑘]12、由题可得210[][],01NjknNnXkxnekN2111021()10[][],01[][][],,0,1,...,1NMjknMNnkNjnNMnXkxnekMNXkxneXrkrMrN212022111()220002211002101[][],01[][][][][][][][]=[],,0,1...10,NMmMNMNjknjklmNMNMNnmlMNjkljkmMNMmlMjkmMmxnxnnMNxnxnmNXkxnexlexleekeXMMXrMXkkrMrN其它13、一个8点长的序列x[n]={3,-1,2,4,-3,-2,0,1},0≤n≤7,其8点DFT表示X[k]，0≤k≤7试计算下列各项777(/4)2000[0],[4],[],[],|[]|jkkkkXXXkeXkXk23571744244400[][]32432[0]4[4]0knknkkkkkNjjjjjjjjkNnnxnexneeeeeeeXX解：(1)X[k]=2107077(/4)(2/8)8001[][]N[]8[0]24[][]=8[-1]8[7]8knNjNkkjkjkkkxnXkeXkxeXkXkexx(2)由IDFT定义式772200(3)parseval|[]|8|[]|352knXkxn由定理8.14已知一个14点长的序列x[n],0≤k≤13,其14点的DFT表示为X[k]={12，-1+j3，3+j4，1-j5，-2+j2，6+j3，-2-j3，10}解：实数序列的DFT是圆周共轭对称的，即如果x[n]为一个实数序列，则其DFT满足：𝑋[𝑘]=𝑋∗[〈−𝑘〉𝑁]对于14点序列，即：𝑋[0]=𝑋∗[〈−0〉14]=𝑋∗[0]=12𝑋[1]=𝑋∗[〈−1〉14]=𝑋∗[14−1]=𝑋∗[13]=−1+𝑗3→𝑋[13]=−1−𝑗3𝑋[2]=𝑋∗[〈−2〉14]=𝑋∗[14−2]=𝑋∗[12]=3+𝑗4→𝑋[12]=3−𝑗4𝑋[3]=𝑋∗[〈−3〉14]=𝑋∗[14−3]=𝑋∗[11]=1−𝑗5→𝑋[11]=1+𝑗5𝑋[4]=𝑋∗[〈−4〉14]=𝑋∗[14−4]=𝑋∗[10]=−2+𝑗2→𝑋[10]=−2−𝑗2𝑋[5]=𝑋∗[〈−5〉14]=𝑋∗[14−5]=𝑋∗[9]=6+𝑗3→𝑋[9]=6−𝑗3𝑋[6]=𝑋∗[〈−6〉14]=𝑋∗[14−6]=𝑋∗[8]=−2−𝑗3→𝑋[8]=−2+𝑗3𝑋[7]=𝑋∗[〈−7〉14]=𝑋∗[7]=10即对于该14点序列，除了第0点和第7点外，其余的点都有共轭对称的点存在，所以其14点𝑋[𝑘]的和也一定是实数，即(a)∑𝑋[𝑘]13𝑘=0=12+2∙(−1)+2∙3+2∙1+2∙(−2)+2∙6+2∙(−2)+10=32𝑥[0]=