JPDA

JPDA4.7联合概率数据关联（JPDA）算法由于PDA算法没有能够准确考虑处在多个目标关联门相交区域中的公共回波对航迹更新的影响，因此其跟踪性能在回波密集时不太理想。JPDA算法被公认为解决密集回波下多目标数据关联的最有效算法之一。JPDA算法利用落在跟踪门限内的当前扫描周期中的点迹，计算点迹和相应航迹的关联概率，利用关联概率对当前点迹求加权和来修正航迹，权值就是跟踪中的点迹来自于目标的概率。实际计算中就是通过找出所有可能点迹－航迹的组合集合，通过求点迹－航迹关联集合的概率来获得权值。它与PDA的区别就是对于概率互联概率的计算不同。算法分两个部分：联合事件生成和关联概率计算。除了关联概率的计算不同以外，JPDA滤波器与PDA滤波器基本上相似。JPDA计算的概率为联合概率，这是由于测量值可能来自不只一个目标。在一些文献上对JPDA算法有具体的介绍，这里简介如下：确认矩阵为了表示有效回波和各个跟踪门的复杂关系，Bar-Shalom引入了确认矩阵的概念，确认矩阵定义为：Ttmjkjt,...,1,0;,...,2,1][（2-38）其中jt是二进制变量，1jt表示量测j落入目标t的确认门内，而0jt表示量测j没有落入目标t的确认门内，0t表示没有目标。矩阵的第一列元素0j全都是1，这是因为任一量测都可能源于杂波或者虚警。4.7.1互联事件与互联矩阵设kniikk1)}({)(表示在k时刻所有可能的联合事件的集合，即事件空间，kn表示)(k中元素的个数，其中：kmjijjtikk1)()(（2-39）为第i个联合事件（kmi,...2,1），它表示km个量测匹配于各个目标的一种可能，)(kijtj表示在第i个联合事件（kni,...,2,1）中量测j源于目标jt的事件，)(0kij表示在第i个联合事件（kni,...,2,1）中量测j源于杂波或虚警。)(kjt表示k时刻第j个量测与目标t互联的事件，则：knikijtjtmjkk1,...2,1),()(（2-40）这个事件称为互联事件，也有的资料称为关联事件，因此，)(0kt表示k时刻没有任何量测源于目标t的事件。满足下面两个假设的事件称为可能事件：1每一量测都有唯一的源，即任一量测不源于某个目标，则必然源于杂波或虚警；2对于一个给定的目标，最多有一个量测以其为源。如果一个目标有可能与多个量测相匹配，则将取一个为真，其它为假。由这两个假设可知，在k时刻与目标t关联的事件具有下述性质：1不相交性：jikkjtit,)()(（2-41）2完备性：TtZkkmjkjt,...,2,1,0,1}|)(Pr{0（2-42）设：TtmjZkkkkjtjt...,2,1,0;,...1,0},|)(Pr{)(（2-43）表示k时刻第j个量测与目标t互联的概率，则有：kmjjtk01)(（2-44）上式包括了0j的情况，0j意味着没有量测与目标t关联。互联事件)(ki，可以用互联矩阵表示：Ttmjkkkiijti,...,2,1;,...,2,1))],((ˆ[))((ˆ（2-45）))((ki是一个km行1T列的矩阵。其中：其它，，若0)()(1))((ˆkkkiijtiijt（2-46）表示在第i个联合事件中，如果量测j源于目标t，ijtˆ为1；否则，ijtˆ为0。根据上述两个基本假设容易得出：Ttkiijtmjk0,...,2,1,1))((ˆ（2-47）kmjiijtTtk0,...,2,1,1))((ˆ（2-48）其中km为)(ki中来自目标t的量测数。4.7.2对确认矩阵的拆分来获得互联矩阵对于一个多目标跟踪问题，一旦给定反映有效回波与目标或杂波互联态势的确认矩阵，则可以通过拆分确认矩阵来得到所有的互联矩阵，由公式（2-47）和（2-48），对确认矩阵的拆分要遵循以下两个原则：1在确认矩阵的每一行，选出且仅选出一个1，作为互联矩阵在该行唯一非零的元素。即满足可能事件的第一个假设：每个量测有唯一的源。2在互联矩阵中，除第一列外，每列最多只能有一个非零元素。即满足可能事件的第二个假设：每个目标最多有一个量测以它为源。4.7.3量测互联指示与目标检测指示依据（2-47）和（2-48）引入两个变量：1量测互联指示：Ttiijtijkk1))((ˆ))((kmj,...,2,1（2-49）表示量测j在联合事件)(ki中是否和一个真实目标关联。如果1))((＝kij且0t，表示量测j在联合事件)(ki中和一个真实目标t关联；如果0))((＝kij表示量测j不源于任何一个真实目标，而是源于杂波或虚警。2目标检测指示：kmjiijtitTtkk1,...,2,1))((ˆ))((（2-50）表示在联合事件)(ki中是否存在量测与目标t互联，即目标t是否被检测。如果1))((kit，表示存在'j使得1))((ˆ'kiitj，即存在量测'j与目标t关联；如果0))((kit，表示对于任何量测j，都有0))((ˆkiijt，即没有量测与目标t关联。设))((ki表示在联合事件)(ki中假量测的数量，则kmjijikk1))]((1[))((（2-51）4.7.4互联事件概率的计算关联矩阵与关联事件是一一对应的，利用关联矩阵可以得到对应的关联事件，进而可以利用Bayes法则，计算k时刻关联事件)(ki的条件概率：)(Pr),(|)(1|)(Pr),(|)(1})(|)(Pr{}|)(Pr{1111kZkkZfcZkZkkZfcZkZkZkikikikikiki，（2-52）其中kniikikZkkZfc01)(Pr),(|)(（2-53）由可得kjkmjkijtjmjkijkiZkkZfZkkZfZkkZf11111),(|)(),(|)(),(|)(（2-54）假定不与任何目标关联的量测在体积为V的确认区域中服从均匀分布，而与某个目标关联的量测服从高斯分布。不同于单目标的PDA算法，JPDA算法假设所有的跟踪门对应整个监视区域，即1GP，GP是正确量测落在确认区域内的概率，也叫门概率。。根据上面假设，有：0)]([1)]([)]([),(|)(11kVkkZNZkkZfijijjtkijtjjj若，，若（2-55）其中与目标jt互联的量测服从高斯分布：)](),1|(ˆ);([)]([kSkkZkZNkZNjjjttjjt（2-56）其中)1|(ˆkkZjt表示对目标jt的预测量测，)(kSjt为互联新息协方差。将（2-55）代入（2-54）可以得到：kijjimjkjtkkikZNVZkkZf1)]([))((1)]}([{),(|)(（2-57）由于一旦)(ki被给定，则目标探测指示))((kit和虚警))((ki就完全确定了，所以有：))}(()),((),(Pr{)(Prkkkkiitii（2-58）式（2-58）可以表示为：))}(()),((Pr{))}(()),((|)(Pr{)(Prkkkkkkiitiitii（2-59）在))((kit和虚警个数))((ki确定的情况下，km个量测包含有))((ki个量测的事件共有))((kmikC个，对于其它))((kmik个真实量测，可能有))]!(([kmik种可能互联，所以有：!))!(())]!(([1))}(()),((|)(Pr{))((kikmikiitimkCkmkkkik（2-60）（2-59）中最后一个因式可以写作：)))((()1()())}(()),((Pr{))((11))((kPPkkiFkTttDktDiititit（2-61）其中：tDP是目标t的检测概率，))}((Pr{)))(((kkiiF是有))((ki个假量测数发生的概率。把（2-60）和（2-61）代入（2-59）可以得到：)))((()1()(!))!(()(Pr))((11))((kPPmkkiFkTttDktDkiiitit（2-62）把（2-57）和（2-62）代入（2-52）可得出联合事件)(ki：))((11))((1)]([))(()1()()]}([{)))(((!))!((1}|)(Pr{kTttDktDmjkjtkiFkikiititkijjiPPkZNVkmkcZk（2-63）)))(((kiF一般有两种模型形式：⑴参数模型：假设))((ki满足泊松分布，有：))!(()()))((())((kVekikViFi（2-64）其中，是虚假量测的空间密度，V是门内虚假量测期望数量。将（2-64）代入（2-63）有：))((11))((1)]([))(()1()()]}([{'}|)(Pr{kTttDktDmjkjtkkiititkijjiPPkZNcZk（2-65）这里'c是新的归一化常数。⑵非参数模型：假设))((ki满足均匀分布，有：)))(((kiF（2-66）将（2-66）代入（2-63）有：))((11))((1)]([))(()1()()]}([{))!((''1}|)(Pr{kTttDktDmjkjtkikiititkijjiPPkZNVkcZk（2-67）这里''c也是新的归一化常数。利用（2-65）或（2-67）可以得到第j个量测与目标互联的概率为：kniiijtkikijtkZkZkk1))((ˆ}|)(Pr{}|)(Pr{)(（2-68）下面对JPDA算法进行总结，利用JPDA算法的大体步骤为：1，利用马氏距离建立量测与目标的对应关系，形成确认矩阵。2，对进行拆分，产生可行矩阵，进而得到可行事件（又称联合事件）。3、计算量测与目标的关联概率：ˆ{|}()ktjitjiPZ（3-28）111{|}{[()]}()(1)ppttNNkipDDtptPZNvkPPc（3-29）其中：DP是检测目标概率，pN是量测数量，N是轨迹数量，是错误量测密度是杂波数量，tc是归一化常数，t是二进制量，p是二进制量，表示量测是否分配给某个航迹。利用全概率公式：()1()()()mkttjtjjvkkvkˆˆ(|)(|1)()()ttttXkkXkkKkvk按上面所述步骤，具体的算法过程为：假设对目标的状态向量预测和量测向量预测分别为：ˆˆ(|1)(1)(1|1)XkkFkXkkˆˆ(|1)()(|1)ZkkHkXkk卡尔曼滤波器的更新方程为：ˆˆ(|)(|1)()()XkkXkkKkvk（3-34）其中，()vk是组合更新，()Kk为滤波器增益矩阵，可以得到：1()()()pNtptppvkkvk（3-35）其中，()tpvk是对轨迹t的第p个量测的更新，()tpk是位置量测p来自于目标t的概率，pN是量测数。预测状态的协方差是：T(|1)(1)(1|1)(1)(1)PkkFkPkkFkQk（3-36）更新状态协方差为：00(|)()(|1)[1()](|)()CPkkkPkkkPkkPk%（3-37）其中：TTT1()()[()()()()()]()pNtptptppPkKk