圆中常见辅助线的作法

圆中常见辅助线的作法类型1连半径——构造等腰三角形作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答．1．如图，△ABC内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC等于()A．180°－2αB．2αC．90°＋αD．90°－αD2．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E.若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于()A．42°B．28°C．21°D．20°B类型2与垂径定理有关的辅助线在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段或连接弧的中点与圆心，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数进行计算．3．(2018·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为()A.15B．25C．215D．8C4．(2018·威海)如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB︵的中点．若∠ABC＝30°，则弦AB的长为()A.12B．5C.532D．53D类型3与圆周角定理及其推论有关的辅助线(1)利用圆周角定理求角度时，常构造同弧或等弧所对的圆周角或者圆心角；(2)遇到直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质；(3)遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．5．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则tanD的值是()A．22B.223C.24D.13A6．(2019·辽阳)如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是AC︵的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．60°7．(2019·连云港)如图，点A，B，C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为．6类型4与切线的性质有关的辅助线已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，从而构造出直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．8．如图，在⊙O中，AD，CD是弦，连接OC并延长，交过点A的切线于点B.若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为()BA．20°B．30°C．40°D．50°类型5与切线的判定有关的辅助线证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，则需要过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．9．(2019·齐齐哈尔)如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°.(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OA.∵AD＝AB，∠D＝30°，∴∠B＝∠D＝30°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30°.∴∠AOD＝60°.∴∠OAD＝180°－30°－60°＝90°.∴OA⊥AD.又∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线．(2)∵BC＝4，∴OA＝2.∴AD＝OA·tan60°＝23.∴S△AOD＝12AD·OA＝23.又∵S扇形AOC＝60π×4360＝2π3，∴S阴影＝23－2π3.10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.(1)求证：CD与⊙O相切；(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．解：(1)证明：过点O作OG⊥DC，垂足为G.∵AD∥BC，AE⊥BC，∴OA⊥AD.又∵DO平分∠ADC，OG⊥DC，∴OA＝OG.∴OG是⊙O的半径．∴DC是⊙O的切线．(2)连接OF.∵OA⊥BC，∴BE＝EF＝12BF＝12.在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12.∴OF＝OE2＋EF2＝13.∴AE＝OA＋OE＝13＋5＝18.∴tan∠ABC＝AEBE＝32.类型6与三角形内切圆有关的辅助线11．(2019·娄底)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为()A．1B.3C．2D．23A12．(2018·河北)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为()A．4.5B．4C．3D．2B类型7与圆中阴影部分面积的计算有关的辅助线13．(2019·南充)如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为()A．6πB．33πC．23πD．2πA