3.7-算符对易关系

§3.7力学量算符之间的对易关系•讨论微观态中某一力学量时，总是以的本征值谱作为力学量的可能值。若我们同时观测状态中的一组不同力学量，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。•主要内容有：一个关系：力学量算符之间的对易关系三个定理:FFF,,GF力学量守恒定理不确定关系逆定理）共同本征态定理（包括算符之积若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则ÔÛ=Ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。对易关系若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。不对易。例如：算符xxipxˆˆ()xxxxpxiixˆ()xxxpxixiix由于所以ˆˆxxxppxi(3.7-1),FGFGGF•为了运算上的方便，引入量子括号上式可写为ipxx,,0,0yzxpxp,yypi(3.7-2)同理可得,zzpi(3.7-3),0,0xzypyp(3.7-4)ijjiipx,不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[Ô,Û]=-[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。证明3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]利用则[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,OUEOUEUEOOUEUOEUOEUEOOUUOEUOEEOOUEUOE]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxzpxpzpzpy]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[zxyzyxpxpzpzpyLL]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[zxyzxzpxpzpzpxpzpy]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpyyzzyzxxzppxzpxpzppzypzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[yzxzppxzpzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyzˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[yxpixpiyˆ)(ˆ)(]ˆˆ[xypypxizLiˆ(3.7-5)角动量算符的对易关系同理可得[,][,][,]xyzyzxzxyLLiLLLiLLLiLLiLL写成矢量(3.7-6)(3.7-7)),,()3,2,1(,0],[2zyxjLLj0],[,0],[,0],[2222pLpLpLj0)](,[,0)](,[2rULrUL同理可得(3.7-8)定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。证：ˆˆnnnnnnFG已知：由于n组成完备系，所以任意态函数(x)可以按其展开：)()(xcxnnn)()(xcxnnn则nnncFGGFxFGGF)ˆˆˆˆ()()ˆˆˆˆ(nnnFGGFc)ˆˆˆˆ(()nnnnnnncˆˆ()nnnnncFG因为(x)是任意函数0ˆˆˆˆFGGF所以0两力学量同时有确定值的条件•体系处于任意状态（x）时，力学量F一般没有确定值。如果力学量F有确定值，（x）必为F的本征态，即Fˆ如果有另一个力学量G在态中也有确定值，则必也是G的一个本征态，即Gˆ结论：当在态中测量力学量F和G时，如果同时具有确定值，那么必是二力学量共同本征函数。定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。例1：.,,)2(1)(ˆ,ˆ,ˆ2/3zyxrpipzyxppperppp同时有确定值：共同完备本征函数系：两两对易；动量算符：例2：.,)1(,),()()(ˆ,ˆ,ˆ22mllEYrRrLLHnlmnlnlmz同时有确定值：共同完备本征函数系：两两对易；氢原子中：力学量完全集合（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：.ˆ,ˆ,ˆzyxppp例2：氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：.ˆ,ˆ,ˆ2zLLH例3：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：Hˆ（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。测不准关系的严格推导由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题：两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：测量值Fn与平均值F的偏差的大小。ˆˆˆFFFF证明：若为厄密算符，则偏差仍为厄密算符。ˆˆˆˆˆFGGFik若(3.7-9)令ˆˆFFFˆˆGGG(3.7-10)测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：ˆˆˆˆˆABBAikˆˆAB为求二量不确定度、引入实参量的辅助积分：2ˆˆ()||0IAiBd即ˆˆˆˆ(),IAiBAiBˆˆˆˆ(),IAiBAiBˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,AAAiBiBAiBiB2ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,AAiABiBABB222ˆˆˆˆ,,,,AiABB222ˆˆˆ,,,AiikB222ˆˆˆ,,,AkB222ˆˆˆ,,,AkB222ˆAkB由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：222()ˆˆ()()4kAB222ˆˆ4kAB将ˆˆˆˆAAB、B并利用ˆˆˆˆˆ[][]AAik，B，B所以（二）坐标和动量的测不准关系4))]ˆ[222xxpxipx（（，22))22xxpxpx简记之：（（或写成：（1）测不准关系ˆˆˆˆˆ[][]AAik，B，B222()ˆˆ()()4kAB由测不准关系确定谐振子的零点能振子能量222212xpHE*0nnxxdxˆ**0nnnppdxidxx222222)()(pppxxx222222)()(pppxxx2222)()(ppxx于是：由于222222)(212)(212xpxpHE4))222xpx（（二均方偏差不能同时为零，故E最小值也不能是零。为求E的最小值，取式中等号。222222)4)4))xppxxx（（（（yyxxE222222218)(21)(8求极值：0218222yyE2)(2xy解得：212212822E因均方偏差不能小于零，故取正零点能就是测不准关系所要求的最小能量则（三）角动量的测不准关系22224))ˆ]ˆˆ[zyxzyxLLLLiLL（（，例1：利用测不准关系证明，在Lz本征态Ylm下，〈Lx〉=〈Ly〉=042222241)(4))ˆmmLLLyxz（（本征态时，当体系处于证：22224))ˆ]ˆˆ[xzyxzyLLLLiLL（（，由于在Lz本征态Ylm中，测量力学量Lz有确定值，所以Lz均方偏差必为零，即0)2zL（则测不准关系：222224040)xxyLLL（平均值的平方为非负数欲保证不等式成立，必有：0xL同理：0yL例2：L2，LZ共同本征态Ylm下，求测不准关系：？（（22))yxLL解：222222))yyyxxxLLLLLL（（由例1可知：00yxLL22yxLL、求：•例题4一维运动的粒子处在求解：归一化后可得利用有(0)0()00xAxexxx当当22()()?xxp3/22A210!(2)nxnnxedx*0xxdx23234033482xAxedx2*20xxdx24235203344xAxedx所以222222393()44xxx•所以*0ppdx20()xxdiAxexedxdx2220()0xiAxxedx2*20ppdx22220()xxdAxexedxdx222222222223012(2)2(2)(2)xAxxedxA22222()ppp2222222331()()444xxp满足不确定关系•例在对某一状态进行测量时，同时得到能量能唯一确定这一状态吗？解：能。因为三个力学量对易，故共同本征态为2222,2,18snzeELL3,1,1nlm3113111(,,)()(,)rRrY•例题求粒子处于时角动量分量和分量的平均值。解：首先应注意，是的共同本征函数，而不对易，故不是的本征函数。利用对易关系，则lmYxy2,,xyxLLLlmY2,zLL,,xyzLLLlmY,xyLL[,]yzxLLiL***1xxlmlmyzzylmlmlmlmLYLYdYLLYdYLLYdi****1()()10yzzylmlmlmlmyylmlmlmlmYLLYdLYLYdimYLYdmYLYdi•同理•由于坐标与的对称性，可得，0yLxy22xyLL22222222211()[(1)]()222xzLLLllmllm•故