全国2012年4月自考高等数学试题答案详解

全国2012年4月自考《高等数学（一）》试题答案详解课程代码：00020试卷总体分析：第一章第二章第三章第四章第五章第六章合计一、单项选择题（2*5）22222010二、填空题（3*10）36366630三、计算题（一）（5*5）005105525四、计算题(二)（7*3）00777021五、应用题（9*1）0000909六、证明题（5*1）0000055合计5817252916100试卷详解：一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.函数y=f(x)的图形如图所示，则它的值域为()A.[1,4）B.[1,4]C.[1,5)D.[1,5]答案：C知识点：函数值域解：由图像观察可得。2.当x→0时，下列变量为无穷小量的是()A.21sinxxB.1sinxxC.xeD.21x答案：A知识点：无穷小量解：201limsin0xxx3.设函数f(x)可导，且0(1)(1)lim1xffxx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为()A.1B.0C.-1D.-2答案：C知识点：导数的几何意义解：00(1)(1)(1)(1)'(1)limlim1xxfxfffxfxx4.曲线21(1)yx的渐近线的条数为()A.1B.2C.3D.4答案：B知识点：曲线的渐近线解：2211lim0(1)1lim,(1)xxxx因为，则原曲线有水平渐近线y=0因为则原曲线有竖直渐近线x=15.下列积分中可直接用牛顿-莱布尼茨公式计算的是()A.111dxxB.111dxx2（2+1）C.1211dxxD.1211d1xx答案：D知识点：牛顿-莱布尼茨公式解：函数要在积分区间上连续。彩电二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设函数2,||1(),1,||1xfxx则f[f(1)]=______.答案：1知识点：复合函数解：f[f(1)]=f[2]=17.已知33lim1nknen，则k=______.答案：-1知识点：重要极限解：333333lim1lim11knnkknneennk8.若级数1nnu的前n项和1121nSn,则该级数的和S=______.答案：12知识点：级数的和解：111limlim212nnnSSn9.设函数f(x)可微，则微分d[ef(x)]=______.答案：ef(x)f’(x)dx知识点：函数微分解：d[ef(x)]=ef(x)f’(x)dx10.曲线y=3x5-5x4+4x-1的拐点是______.答案：（1，1）知识点：.曲线的拐点解：4332'15204606000,10,0,0,0,1,0,1,0,(1,1)yxxyxxyxxyxyxyxy由解得因为当时当时当时当时所以曲线的拐点是11.函数()arctanfxxx在闭区间[-1,1]上的最大值是______.答案：14知识点：函数最值解：2221'()100,11(-1)-1-(0)0(1)14414xfxxxxfff由解得函数驻点无不可导点又，，所以函数在的最大值是12.导数20dsin2ddxuux=______.答案：2sin4x知识点：变限积分求导解：20dsin2d2sin4dxuuxx13.微分方程2()20xyxyy的阶数是______.答案：2知识点：微分方程的阶数解：微分方程的阶的定义14.设22{(,)|4}Dxyxy，则二重积分ddDxy______.答案：4知识点：二重积分的性质解：dd4Dxy15.设函数(,)ln()2yfxyx，则偏导数(0,1)yf＇______.答案：1知识点：偏导数解：(0,1)1(0,1)12yfxy＇三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设函数21()cosxfxex，求导数()fx.答案：22111sin2cosxexxxx知识点：函数求导解：2222221111'()cos'2cossin111sin2cosxxxxfxexeexxxxexxxx　　　17.求极限0tanlimsinxxxxx.答案：-2知识点：函数极限解：020200tanlimsinsec1limcos12sectanlimsin12limcos2xxxxxxxxxxxxxx法一：02020220tanlimsinsec1limcos1tanlimcos1lim22xxxxxxxxxxxxxx法二：18.求函数3212()2333fxxxx的极值.答案：2(1)2(3)3ff极大值为，极小值为知识点：函数极值解：2'()43(1)(3)01,3fxxxxxx由解得函数驻点为()24(1)20(3)201(1)223(3)3fxxffxfxf法一：　　是函数的极大值点，极大值为是函数的极小值点，极小值为1'()0,3'()0,1(1)23'()0,3'()0,23(3)3xfxxfxxfxfxxfxxf法二：　　当时，当1时，则是函数的极大值点，极大值为当1时，当时，则是函数的极小值点，极小值为19.计算无穷限反常积分231=d610Ixxx.答案：2知识点：无穷限反常积分232331=d6101d331arctan32Ixxxxxx解：　　　　　　20.计算二重积分=(32)ddDIxyxy，其中D是由直线x+y=1及两个坐标轴围成的区域，如图所示.答案：56知识点：二重积分解：1100:=(32)dd3256DxIxyxyxydydx法一　　　　　　　　　　　1100:=(32)dd3256DyIxyxyxydxdy法二　　　　　　　　　　　四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21.确定常数a,b的值，使函数3sin,0()ln(1)0xxfxaxbx在点x=0处可导.答案：3；0知识点：函数的可导与连续-000'(0)3cos3'(0)1'(0)'(0)300lim3sin=0=f(0)=bxxxfxafaxffax解：　　　　　又　　　　根据函数在x处可导，得函数在x处连续,则　　　　22.设某商品的需求函数为Q(P)=12-0.5P（其中P为价格）.（1）求需求价格弹性函数.（2）求最大收益.答案：24pp；72知识点：需求价格弹性及最大值解：（1）'0.5120.524EQpppQpEpQpp（2）收益函数R(P)=PQ=P*(12-0.5P)=2120.5pp'()120=12()10=12()(12)=72RPppRPpRPR由得故是的最大值点，最大值为23.计算定积分222230=d(1)xIxx.答案：14知识点：定积分的换元积分法解：2222244430230002=sin00,,=sin0,244sin=dcostdsec1dtan1cos4(1)xtxtxtxtxtIxttttttx设，当时，当时，在上单调，故五、应用题（本题9分）24.设曲线1yx与直线y=4x,x=2及x轴围成的区域为D，如图所示.（1）求D的面积A.（2）求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.答案：12ln22；136知识点：定积分的几何应用解：12122221021021122222211002211(40)(0)2ln2ln2211=(2)+()2ln2ln244882AxdxdxxxxyyyyAdydyyxy法一：法二：12222102113(4)()6xVxdxdxx六、证明题（本题5分）25.设函数z=xy+f(u)，u=y2-x2，其中f是可微函数.证明：22zzyxxyxy.知识点：偏导数及复合函数求导证明：22222'2'=2'2'zyxfuxzxyfuyzzyxxyyxyfuxxyfuxy　　本资料由广州自考网收集整理，更多自考资料请登录下载考试必看：自考一次通过的秘诀！