浅谈组合数学

浅谈组合数学浙江大学数学系葛根年2010年3月组合数学概述现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等；另一类就是研究离散对象的组合数学。计算机出现以后，由于离散对象的处理是计算机科学的核心，研究离散对象的组合数学得到迅猛发展。组合数学概述吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。Gian-CarloRota教授曾提出要向中国领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。组合数学的历史传说在公元前23世纪大禹治水的时候，在黄河支流洛水中，浮现出一个大乌龟，甲上背有9种花点的图案，人们将图案中的花点数了一下，竞惊奇地发现9种花点数正巧是1—9这9个数，各数位置的排列也相当奇妙，横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数字之和都为15。上图为三阶洛书幻方问题组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。神农幻方4923578162200BC1151441267981011513321615世纪４阶幻方阿基米德手稿上图为一份用希腊文写在羊皮纸上的阿基米德手稿副本,最近科学家借助现代科技手段初步破译了古希腊数学家阿基米德的这篇论文,结论是这篇被称作Stomachion的论文解决的是组合数学问题。阿基米德手稿在论文中阿基米德是在计算把14条不规则的纸带拼成正方形一共能有多少种不同的拼法。这在现在被称为tiling问题。当今数学家借助计算机得出的答案是17152种拼法，这在当时是相当困难的。PeriodicTilingsNon-PeriodicTilingsPenroseTilingsSymmetricTilingsSymmetricTilings贾宪三角中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时期的“贾宪三角”,后来被杨辉引用,所以普遍称之为“杨辉三角”,这在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中国晚了400多年。11，11，2，11，3，3，11，4，6，4，11，5，10，10，5，11，6，15，20，15，6，1七桥问题近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过Königsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。Euler定理如果一个图包含一条经过每条边恰好一次的闭途径，则称这个图为欧拉图。对任意的非空连通图，若它是欧拉的,当且仅当它没有奇度点。Königsberg桥对应的图36军官问题(欧拉1779)TheGreatFrederic的阅兵难题-------欧拉的困惑拉丁方阵:12211232313121243231434214132正交拉丁方阵:123312231123231312123312231232313112Euler猜想不存在6阶正交拉丁方不存在4k+2阶正交拉丁方现在的结论对任正整数n≠2,6，存在n阶正交拉丁方柯克曼女生问题在1847年，T.P.Kirkman提出了下列问题：15个女学生每天3人一组分成5组出去散步，能否在一周内使得任意2人恰好同组一次。柯克曼女生问题的7个解(Mathon,Phelps,Rosa,1963)星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日1adefgbjhikcnmolabcdfhemkjignolabcdgjmehikoflnabcfgdlikhenjmoabcdefhlikgjomnabceflidjhmkgonabcegndhijofklm2adefgbjhikcnmolabcdfhemkjignolabcdgjmehikoflnabcfgdilhjekonmabcdeflhijgakmoabcegldikhmfjnoabcefnhdikojglm3adefgbjikhcomlnabceghdlkjifonmabcdfjemhikgnloabcfgdlihkenjmoabcdefmhijgoknlabceflidhjmkgonabcdgnhekiofjml4adefgbjikhcomlnabceghdlkjifonmabcdfjemhikgnloabcfgdmhjieoknlabcdeflikhgnjmoabcdglheikmjfnoabcefnidjnokglm5abcfgdihmjeklnoabcdefhiklgjnmoabcegldkihmfojnabcdfnejihogmlkadefgbhkjiconlmabcdghmejkiofnlabcefjldhikngmo6abcfgdihmjeklnoabcdefhiklgjnmoabcegldkihmfojnabcdfnejihogmlkadefgbjhikcnmolabcefhmdkjiognlabcdgjlehiknfom7adefgbijlhcknomabcfgdijhkelmnoabcdefhimkgjonlabcdfheljkignomabcdgjmehikoflnabceflkdhimngojabcegndhijofkml实际上，现在Kirkman女生问题指的是：v个女学生每天3人一组分成v/3组出去散步，能否在(v-1)/2天内使得任意2人恰好同组一次。把满足条件的安排记作KTS(v)(v3mod6).解决这个问题花了120年(Ray-Chaudhuri和Wilson,1970,Proc.Symp.PureMath.Amer.Soc.)。陆家羲，内蒙古包头九中，1965。柯克曼三元系大集在1850年，J.J.Sylvester进一步提出：15个女学生每天3人一组分成5组出去散步，在一周内使得任意2人恰好同组一次。连续这样的安排13周，使得任意3人恰好同组一次。这就是著名的“Sylvester15女生问题”此问题直到1974年才被D.H.F.Denniston借助计算机解决。下面是他给出的解。Bi表示第i周的安排（0i12),BiB0+i(mod13).B0如下：一二三四01902703110462412348171218115101156126810291078a911a25a312a36b110b49b57b五六日05801012145123359261167947113710410a16a89121112b28b0abv个女学生每天3人一组分成v/3组出去散步，在(v-1)/2天内(一个周期)使得任意2人恰好同组一次。连续这样的安排v-2个周期，使得任意3人恰好同组一次。把满足条件的安排称为不相交的柯克曼三元系大集，记作LKTS(v)(v3mod6).组合数学的应用著名的组合数学家ThomasTutte在组合数学界是泰斗级的大师。直到最近人们才知道，原来他对提前结束“二战”有着突出贡献。Tutte从德军的两条情报密码出发，用组合数学的方法，重建了敌人的密码机，确定了德军密码的内部结构，从而获得了极为重要的情报。组合数学的应用在美国有一家公司用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。在美国已有专门的公司用组合设计的方法开发软件，来解决工业界中的试验设计问题。德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。组合数学与数字通信“数字”已与整个信息时代紧密相关，成为信息存储、传递、处理的最基本单位。“数字”与“信息”的联姻导致了一种崭新的通信技术,这就是数字通信数字通信是将话音、图像等传统模拟储存、模拟处理和模拟传输的信息方式转换成数字信号，并以二进制数“0”和“1”两种符号来表示。信息的数字化为组合数学在信息科学中的运用提供了平台在有干扰信道上实现可靠通信的一个有效方法是纠错编码纠错编码它本质上是离散空间之间的映射为了通信保密，发送方需要对数字信息加密加密通常是利用一个陷门单向的离散函数对数字信息作变换4阶哈达玛矩阵11111-11-111-1-11-1-11将H(32)及-H(32)中-1改为0,可得64个长为32的（0,1）序列，其形成上面所述的码。已知若n≥4且H(n)存在,则n是4的倍数.1893年哈达玛曾猜测：H(n)存在当且仅当n＝4t此猜测抵挡住了许多数学家的智力攻势,至今仍然屹立不动.最小的未知阶数为n＝668简单的置换密码明文密文ANEXAMPLELEXAAEMPNANEXAMPLE492357816N阶幻方的构造当N为奇数时：先把1放置在任意位置，再顺序将2,3,…等数字放在右上方中：当右上方格出界的时,由另一边进入；当右上方格中已经填有数字时，把数字填入其正下方的方格中，直到填写完N2。５阶幻方四色问题在日常生活中我们常常可以遇到组合数学的问题。比如一个著名的世界难题“四色猜想”：一张地图，用一种颜色对一个地区着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同。四色问题1852年，刚从伦敦大学毕业的FrancisGuthrie提出了四色猜想。1878年著名的英国数学家Cayley向数学界征求解答。此后数学家Heawood花费了毕生的精力致力于四色研究，于1890年证明了五色定理（每个平面图都是5顶点可着色的）。直到1976年6月，美国数学家K.Appel与W.Haken，在3台不同的电子计算机上，用了1200小时，才终于完成了“四色猜想”的证明，从而使四色猜想成为了四色定理。中国邮递员问题1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”。一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，然后返回邮局。那么如何选择一条尽可能短的路线。中国邮递员问题这个问题可以转化为：给定一个具有非负权的赋权图G，（1）用添加重复边的方法求G的一个Euler赋权母图G*，使得尽可能小。（2）求G*的Euler环游。这个问题可以由Fleury算法和1973年著名组合数学家J.Edmonds和Johnson给出的一个好的算法解决。)(\)(*)(GEGEeew货郎担问题一个货郎要去若干城镇卖货，然后回到出发地，给定各城镇之间所需的旅行时间后，应怎样计划他的路线，使他能去每个城镇恰好一次而且总时间最短？货郎担问题用图论的术语说，就是在一个赋权完全图中，找出一个具有最小权的Hamilton圈（包含图G的每个顶点的圈)。这个问题目前还没有有效的算法。Hamilton问题是图论的一个重要问题，图论中的许多问题，包括四色问题、图的因子问题，最终都与Hamilton问题有关。相识问题1958年，美国的《数学月刊》上登载着这样一个有趣的问题：“任何6个人的聚会，其中总会有3个人相互认识，或3个人相互不认识”。用6个顶点表示6个人，用红色连线表示两者相识，用蓝色连线表示两者不相识。于是问题化为下述命题：相识问题对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边着色，则图中一定存在一个同色三角形。Ramsey数推广为一般问题：给定任意正整数a和b，总存在一个最小整数r(a,b)，使得r(a,b)个人中或者有a个人互相认识，或者有b个人互相不认识。称r(a,b)为Ramsey数。网络流问题随着中国经济快速的增长，城市化是未来中国的发展方向。人大通过的“十五”规划，把物流业作为战略重点列入要大力发展的新兴服务产业。如何制定一个运输计划使生产地到销售地的产品输送量最大。这就是一个网络最大流问题。网络流问题1956年Ford和Fulkerson提出了关于网络流问题的一个重要定理。最大流最小割定理：在任何网络中，最大流的值等于最小割的容量。由这个定理可以引出求网络最大流的一个算法——标号法。1970年，Edm