磁场的高斯定理

1第8章稳恒磁场§1基本磁现象§2磁场磁感强度§3磁场的高斯定理§4毕－萨－拉定律§5安培环路定理及应用2小故事：1820年奥斯特磁针的一跳说明电流具有磁效应法国物理学家迅速行动代表人物：阿拉果安培毕奥萨伐尔拉普拉斯从奥斯特磁针的一跳到对磁现象的系统认识只用半年时间说明科学家的锲而不舍的精神§1基本磁现象3在地磁两极附近，由于磁感线与地面垂直，外层空间入射的带电粒子可直接射入高空大气层内，它们和空气分子的碰撞产生的辐射就形成了极光。绚丽多彩的极光4磁流体船B电流BF海水进水出水发动机接发电机IF电极5电磁轨道炮在1ms内，弹块速度可达10km/sa~106g，~106A6§2磁场磁感强度一、磁场二、磁感强度BqEqf一、磁场电流或运动电荷周围既有电场又有磁场磁场的宏观性质：1）对运动电荷(或电流)有力的作用2）磁场有能量二、磁感强度运动电荷在电磁场中受力：洛仑兹力公式8§3磁场的高斯定理一、磁力线磁通量二、磁通连续原理9无头无尾闭合曲线§3磁场的高斯定理一、磁力线磁通量1.磁力线的特征与电流套连与电流成右手螺旋关系I直线电流的磁感应线IBII圆电流的磁感应线通电螺线管的磁感应线II13各种典型的磁感应线的分布：直线电流的磁感线圆形电流的磁感线14直螺线管电流的磁感线环形螺线管电流的磁感线152.磁通量SmsBd单位：韦伯(Wb)无头无尾闭合曲线1.磁力线的特征与电流套连与电流成右手螺旋关系I16二、磁通连续原理（磁场的高斯定理）0SSBd微分形式0B磁场是不发散的（磁场是无源场）BSSdSd172）关于磁单极：将电场和磁场对比：SmqSBdSqSD0dqm－磁荷讨论0SSBd1）磁场的基本性质方程由电场的高斯定理可把磁场的高斯定理写成与电场类似的形式q0－自由电荷见过单独的磁荷吗？181931年Dirac预言了磁单极子的存在量子理论给出电荷q和磁荷qm存在关系：），，（321nnhqqm预言：磁单极子质量：pmm161110g102这么大质量的粒子尚无法在加速器中产生人们寄希望于在宇宙射线中寻找只要存在磁单极子就能证明电荷的量子化。19惟一的一次从宇宙射线中捕捉到磁单极子的实验记录：斯坦福大学Cabrera等人的研究组利用超导线圈中磁通的变化测量来自宇宙的磁单极子。基本装置:qm电感L02ΦΦI超导线圈有磁单极子穿过时，感应电流LΦI/20I1982.2.14,13:53tLΦ0820qm电感L02ΦΦI超导线圈I1982.2.14,13:53tLΦ08以后再未观察到此现象。实验中:4匝直径5cm的铌线圈连续等待151天1982.2.14自动记录仪记录到了预期电流的跃变结论：目前不能在实验中确认磁单极子存在21§4毕奥－萨伐尔－拉普拉斯定律要解决的问题是：已知任一电流分布其磁感强度的计算lIdIlIdPr方法：将电流分割成许多电流元毕－萨－拉定律：每个电流元在场点的磁感强度为：20π4ˆrrlIBdd2220π4ˆrrlIBddIlIdPrBd真空中的磁导率7010π4H/m大小：20π4sinrlIBdd方向：rlId如图所示既垂直电流元又垂直矢径23叠加原理:iiBBBBd，PlIdOBdldPIrBd电流元的磁感应线在垂直于电流元的平面内磁感应线绕向与电流流向成右手螺旋关系是圆心在电流元轴线上的一系列同心圆24例1求圆电流中心的磁感强度204RlIBddlIdRIoBdRI20)(204IRlIBd)(204IlRIdBRINB20N---分数和整数原因：各电流元在中心产生的磁场方向相同25例2圆电流轴线上任一点的磁场IxyzoRP.x圆电流的电流强度为I半径为R建如图所示的坐标系设圆电流在yz平面内场点P坐标为x26IxyzoRP.x解：第一步：在圆电流上任取一电流元lId由毕－萨定律知其在场点P产生的磁感强度20π4ˆrrlIBddrrˆlId组成的平面rlIdBd272相互垂直所以rlIˆdIxyzoRP.xlIdrrˆ组成的平面rlIdBdBd在rlId组成的平面内且垂直r由此可知204πrlIBdd第二步：分析各量关系明确Bd的方向和大小28IxyzoRP.xlIdrrˆ组成的平面rlIdBd204πrlIBdd第三步：根据坐标写分量式xBdrRrlIBBx20π4sindddyzBdcosBByzdd29第四步：考虑所有电流元在P点的贡献IxyzoRP.xlIdrrˆ组成的平面rlIdBdxBdyzBdIdddlrIRrRrlIBBIIx3020π4π4sin3202rIR由对称性可知每一对对称的电流元在P点的磁场垂直分量相互抵消所以300cosIyzBBdIxyzoRP.xlIdrrˆ组成的平面rlIdBdxBdyzBd结论：在P点的磁感强度23222032022RxIRrIRBBx方向：沿轴向与电流成右手螺旋关系3123222032022RxIRrIRBBx讨论1）圆电流中心的场RIBx2002）若xR即场点离圆电流很远32032022rIRxIRB323)平面载流线圈的磁矩磁偶极子定义平面载流线圈的磁矩SIPm如果场点距平面线圈的距离很远，这样的平面载流线圈称为磁偶极子磁偶极矩mpSImP平面载流线圈mpI磁偶极子的场用磁偶极矩表示3332032022rIRxIRBrIP.mp320π2πrRI30π2rpm若考虑方向，则可写成30π2rpBm结论：磁偶极子的场沿磁矩方向34ErpprrBrpprreemm143430303mepp电场时:电偶极子磁场时:磁偶极子电偶极矩磁偶极矩场量的表达形式相同-+I4）电磁学中物质分子的模型35例3直电流磁场的特点1)场点在直电流延长线上0B0ˆrlId2)长直载流导线中垂线上一点IlPPB•各电流元产生的磁感强度方向相同•中垂线上半部分电流与中垂线下半部分电流各提供1/2的磁感强度•无限长和半无限长载流导线无限半无限BB21必然结果36§5安培环路定理及应用一、定理表述二、安培环路定理在解场方面的应用三、应用基本定理分析磁场举例§5安培环路定理及应用一、定理表述在磁感强度为的恒定磁场中iiLIlB内0dB磁感强度沿任一闭合环路的线积分等于穿过该环路的所有电流的代数和的0倍表达式为：38讨论1）安培环路定理是稳恒电流磁场的性质方程。（稳恒电流的回路必须闭合或伸展到）2）说明磁场为非保守场（涡旋场）0dLlBiiLIlB内0d3）证明略39B空间所有电流共同产生在场中任取的一闭合线LldL绕行方向上的任一线元内I与L套连的电流如图示的I1I2ldLI31I2I电流分布4）正确理解定理中各量的含义iiLIlB内0d40内I与L套连的电流如图示的I1I2iiI内电流代数和I值采样的面积：以L为边界的任意面积的电流强度值ldLI31I2I电流分布电流正负的规定：与L绕行方向成右螺的电流取正如图示的电流I1取正电流I2取负41如何理解I值采样的面积：电流强度的定义是：单位时间通过某个面积的电量所以谈论电流强度必须指明面积在稳恒电流的情况下因为电流强度处处相等所以在哪个面积处取值都相同二、安培环路定理在解场方面的应用对于一些对称分布的电流可以通过取合适的环路L利用磁场的环路定理比较方便地求解场量(类似于电场强度的高斯定理的解题)以例题说明解题过程例1求密绕长直螺线管内部的磁感强度总匝数为N总长为l通过稳恒电流电流强度为IlI解：分析对称性知内部场沿轴向方向与电流成右手螺旋关系BlNn单位长度上匝数（）由磁通连续原理可得外内BB44取过场点的每个边都相当小的矩形环路abcdadcabLlBddacdbcablBlBlBlBdddd外内内B均匀场abB内由安培环路定理有IablNabB0lNnnIB0每项均为零45由安培环路定理可解一些典型的场无限长载流直导线密绕螺绕环无限大均匀载流平面BIr02BNIr0220iBIr匝数r场点距中心的距离电流密度46•（体）电流(面)密度如图电流强度为I的电流通过截面S若均匀通过电流密度为SIJ•(面)电流(线)密度如图电流强度为I的电流通过截线llI若均匀通过电流密度为lIiIS电流密度47例2无限长导体柱沿轴向通过电流I，截面上各处电流均匀分布，柱半径为R。求柱内外磁场分布。在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量是多少？RI解：电流均匀分布，则电流密度为2πRISIJ根据电流分布的柱对称，取过场点的圆环作为环流的积分路径。rBJ由安环定理有iiIrB0π248RIrBJSIJiiIrB0π2解得rIBiiπ20若场点在圆柱内，即Rr包围的电流为2πrJIii则磁感强度为rJrrJB2π2π020若写成矢量式为rJB2049RIrBJ解得rIBiiπ20若场点在圆柱外，即包围的电流为IIii则磁感强度为rIBπ20Rr50RIrBJrIBπ20RrRrrJB20场的分布为l求长为l的一段磁通量:建坐标如图。or在任意坐标r处宽为dr的面积元的磁通量为rrdrlJrSBddd20总磁通为:rrJlRd002204RJlπ40Il51基本方法：1.利用毕－萨－拉定律2.某些对称分布，利用安培环路定理3.重要的是典型场的叠加注意与静电场对比磁感强度的计算52例3一长直电流I在平面内被弯成如图所示的形状IIIo1R2Rabcdef其中直电流ab和cd的延长线过o电流bc是以o为圆心、以R2为半径的1/4圆弧电流de也是以o为圆心、但，是以R1为半径的1/4圆弧直电流ef与圆弧电流de在e点相切求：场点o处的磁感强度B53IIIo1R2Rabcdef解：场点o处的磁感强度是由五段特殊形状电流产生的场的叠加，即efdecdbcabBBBBBB由毕萨拉定律得到各电流的磁感强度分别是00cdabBB20241RIBbc方向：10241RIBde10221RIBef201010848RIRIRIB54例4通电导体的形状是：在一半径为R的无限长的导体圆柱内，在距柱轴为d远处，沿轴线方向挖去一个半径为r的无限长小圆柱。如图。J导体内均匀通过电流，电流密度为ooRrdJJ求：小圆柱空腔内一点的磁感强度分析：由于挖去了一个小圆柱，使得电流的分布失去了对轴线的对称性，所以无法整体用安培回路定理求解。但，可以利用补偿法，使电流恢复对轴线的对称性。55怎么恢复对称性呢？设想在小圆柱内存在等值反向的电流密度值都等于J的两个均匀的电流结果会出现电流密度值相同电流相反的完整的两个圆柱电流1）大圆柱电流：小圆柱内的与通电导体电流方向一致的电流和导体构成2）小圆柱电流空间的场就是两个均匀的圆柱电流场的叠加56设场点对大圆柱中心o的位矢为1r2r解:JJood场点对小圆柱中心o'的位矢为1r2r2010)(22rJBrJB小圆柱大圆柱由安环定理可分别求出（见例2）总场为：小圆柱大圆柱BBB小圆柱大圆柱BBB5720