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线性代数基本运算①ABBA+=+②()()CBACBA++=++③()cBcABAc+=+()dAcAAdc+=+④()()AcddAc=⑤00=⇔=ccA或0=A。()AATT=()TTTBABA±=±()()TTAccA=。()TTTABAB=()()()212112−==−nnCnnnτnnAaAaAaD2222222121+++=转置值不变AAT=逆值变AA11=−AccAn=γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+()321,,ααα=A,3阶矩阵()321,,βββ=BBABA+≠+()332211,,βαβαβα+++=+BA332211,,βαβαβα+++=+BABABABA=∗=∗00()()1,=cjiE有关乘法的基本运算njinjijiijbababaC+++=2211线性性质()BABABAA2121+=+,()2121ABABBBA+=+()()()cBAABcBcA==结合律()()BCACAB=()TTTABAB=BAAB=lklkAAA+=()kllkAA=()kkkBAAB=不一定成立!AAE=,AEA=()kAkEA=,()kAAkE=EBAEAB=⇔=与数的乘法的不同之处()kkkBAAB=不一定成立!无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解,例如()()EAEAEAA+−=−−3322无消去律(矩阵和矩阵相乘)当0=AB时0=⇒/A或0=B由0≠A和00=⇒/=BAB由0≠A时CBACAB=⇒/=(无左消去律)特别的设A可逆,则A有消去律。左消去律:CBACAB=⇒=。右消去律:CBCABA=⇒=。如果A列满秩,则A有左消去律,即①00=⇒=BAB②CBACAB=⇒=可逆矩阵的性质i)当A可逆时,TA也可逆,且()()TTAA11−−=。kA也可逆,且()()kkAA11−−=。数0≠c,cA也可逆,()111−−=AccA。ii)A,B是两个n阶可逆矩阵AB⇔也可逆,且()111−−−=ABAB。推论:设A,B是两个n阶矩阵,则EBAEAB=⇔=命题:初等矩阵都可逆,且()()()jiEjiE,,1=−()()()=−ciEciE11()()()()()cjiEcjiE−=−,,1命题:准对角矩阵kkAAAA0000000000002211=可逆⇔每个iiA都可逆,记11221111000000000000−−−−=kkAAAA伴随矩阵的基本性质:EAAAAA==**当A可逆时,EAAA=*得AAA*1=−,(求逆矩阵的伴随矩阵法)且得:()()∗==−−11*AAAA()()==−−−−AAAAA1111*伴随矩阵的其他性质①1*−=nAA,1*−=AAA②()(),**TTAA=③()**1AccAn−=,④()*,**ABAB=⑤()()kkAA**=,⑥()AAAn2**−=。2=n时,()AA=**−−=dcbaA*关于矩阵右上肩记号:T,k,1−,*i)任何两个的次序可交换,如()()TTAA**=,()()**11−−=AA等ii)()()111,−−−==ABABABABTTT,()***ABAB=但()kkkABAB=不一定成立!线性表示sααα,,,021→siαααα,,,21→βααααααβ=+++⇔→sssxxx221121,,,有解()βααα=⇔xs,,,21有解()()Tsxxx,,1=β=Ax有解,即β可用A的列向量组表示()srrrCAB,,,21==,()nAααα,,,21=,则nsrrrααα,,,,,,2121→。stαααβββ,,,,,,2121→,则存在矩阵C,使得()()Cstαααβββ,,,,,,2121=线性表示关系有传递性当pstrrr,,,,,,,,,212121→→αααβββ,则ptrrr,,,,,,2121→βββ。等价关系:如果sααα,,,21与tβββ,,,21互相可表示tsβββααα,,,,,,2121←→记作tsβββααα,,,,,,2121≅。线性相关1=s,单个向量α,0=αxα相关0=⇔α2=s,21,αα相关⇔对应分量成比例21,αα相关nnbababa:::2211===⇔①向量个数s=维数n,则n1,,αα线性相(无)关()01≠=⇔nαα()nAααα,,,21=,0=Ax有非零解0=⇔A如果ns,则sααα,,,21一定相关0=Ax的方程个数n未知数个数s②如果sααα,,,21无关,则它的每一个部分组都无关③如果sααα,,,21无关,而βααα,,,,21s相关,则sαααβ,,,21→证明:设cccs,,,1不全为0,使得011=+++βααcccss则其中0≠c,否则scc,,1不全为0,011=++ssccαα,与条件sαα,,1无关矛盾。于是ssccccααβ−−−=11。④当sααβ,,1→时,表示方式唯一sαα1⇔无关(表示方式不唯一sαα1⇔相关)⑤若stααββ,,,,11→,并且st,则tββ,,1一定线性相关。证明:记()sAαα,,1=,()tBββ,,1=,则存在ts×矩阵C,使得ACB=。0=Cx有s个方程,t个未知数,ts,有非零解η,0=ηC。则0==ηηACB,即η也是0=Bx的非零解,从而tββ,,1线性相关。各性质的逆否形式①如果sααα,,,21无关,则ns≤。②如果sααα,,,21有相关的部分组,则它自己一定也相关。③如果sαα1无关,而sααβ,,1→/,则βααs,,1无关。⑤如果stααββ11→,tββ1无关,则st≤。推论:若两个无关向量组sαα1与tββ1等价,则ts=。极大无关组一个线性无关部分组()I,若()I#等于秩()I→6421,,,αααα,()I就一定是极大无关组①sααα,,,21无关⇔()ss=αααγ,,,21②()()sssααγβαααγαααβ,,,,,,,,,12121=⇔→另一种说法:取sααα,,,21的一个极大无关组()I()I也是βααα,,,,21s的极大无关组⇔()β,I相关。证明:()()ββααβ,,,1IIs⇔→⇔→相关。()()()→+→=sssssααβααγααβααγβααγ,,/,1,,,,,,,,11111③β可用sαα,,1唯一表示()()sss==⇔ααγβααγ,,,,,11④()()stsstααγββααγααββ,,,,,,,,,,,11111=⇔→()()stααγββγ,,,,11≤⇒⑤⇔≅tsββαα,,,,11()()()ttssββγββααγααγ,,,,,1111==矩阵的秩的简单性质(){}nmAr,min0≤≤()00=⇔=AArA行满秩:()mAr=A列满秩:()nAr=n阶矩阵A满秩:()nAr=A满秩A⇔的行(列)向量组线性无关0≠⇔AA⇔可逆0=⇔Ax只有零解,β=Ax唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩①()()ArArT=②0≠c时,()()ArcAr=③()()()BrArBAr+≤±④()()(){}BrArABr,min≤⑤A可逆时,()()BrABr=弱化条件:如果A列满秩,则()()BABγγ=证:下面证0=ABx与0=Bx同解。η是0=ABx的解0=⇔ηABηη⇔=⇔0B是0=Bx的解B可逆时,()()ArABr=⑥若0=AB,则()()nBrAr≤+(A的列数,B的行数)⑦A列满秩时()()BrABr=B行满秩时()()ArABr=⑧()()()BrArnABr+≥+解的性质1.0=Ax的解的性质。如果eηηη,,,21是一组解,则它们的任意线性组合eecccηηη+++2211一定也是解。()00,2211=+++⇒=∀eeiicccAAηηηη2.()0≠=ββAx①如果eξξξ,,,21是β=Ax的一组解,则eecccξξξ+++2211也是β=Ax的解121=+++⇔eccceecccξξξ+++2211是0=Ax的解021=+++⇔eccciAi∀⋅=βξ()eeeeAcAcAccccAξξξξξξ+++=+++22112211()βeccc+++=21特别的:当21,ξξ是β=Ax的两个解时,21ξξ−是0=Ax的解②如果0ξ是β=Ax的解,则n维向量ξ也是β=Ax的解0ξξ−⇔是0=Ax的解。解的情况判别方程:β=Ax,即βααα=+++nnxxx2211有解nαααβ,,,21→⇔()()AAγβγ=⇔|()()nnαααγβαααγ,,,,,,,2121=⇔无解()()AAγβγ⇔|唯一解()()nAA==⇔γβγ|无穷多解()()nAA=⇔γβγ|方程个数m:()()mAmA≤≤γβγ,|①当()mA=γ时,()mA=βγ|,有解②当nm时,()nAγ,不会是唯一解对于齐次线性方程组0=Ax,只有零解()nA=⇔γ(即A列满秩)(有非零解()nA⇔γ)特征值特征向量λ是A的特征值λ⇔是A的特征多项式AxE−的根。两种特殊情形:(1)A是上(下)三角矩阵,对角矩阵时,特征值即对角线上的元素。∗=321000**λλλA()()()321321000**λλλλλλ−−−=−∗−−−−−=−xxxxxxAxE(2)()1=Ar时:A的特征值为()Atr,0,,0,0特征值的性质命题:n阶矩阵A的特征值λ的重数()AErn−−≥λ命题:设A的特征值为n,,,21λλλ,则①An=21λλλ②()Atrn=+++21λλλ命题:设η是A的特征向量,特征值为λ,即ληη=A,则①对于A的每个多项式()Af,()()ηηxfAf=②当A可逆时,ηλη11=−A,ηλη||*AA=命题:设A的特征值为n,,,21λλλ,则①()Af的特征值为()()()nfff,,,21λλλ②A可逆时,1−A的特征值为n1,,1,121λλλ*A的特征值为nAAA21||,,||,||λλλ③TA的特征值也是n,,,21λλλ特征值的应用①求行列式nA,,,||21λλλ=②判别可逆性λ是A的特征值EAAE0λλ−⇔=−⇔不可逆EAλ−可逆λ⇔不是A的特征值。当()0=Af时,如果()0≠cf,则cEA−可逆若λ是A的特征值,则()λf是()Af的特征值()0=⇒λf。()ccf⇒≠0不是A的特征值AcE⇔可逆。n阶矩阵的相似关系当UAAU=时,AB=,而UAAU≠时,AB≠。相似关系有i)对称性:ABBA~~⇔BAUU=−1,则1−=UBUAii)有传递性:BA~,CB~,则CA~BAUU=−1,CBVV=−1,则()()CBVVAUVUVUVAUV===−−−−1111命题当BA~时,A和B有许多相同的性质①BA=②()()BAγγ=③A,B的特征多项式相同,从而特征值完全一致。A与B的特征向量的关系:η是A的属于λ的特征向量η1−⇔U是B的属于λ的特征向量。()()()ηληηληηληληη1111111−−−−−−−=⇔==⇔=UAUUUUAUUUBA正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性()nxxxf,,,21变为()nyyyg,,,21,则它们同时正定或同时不正定BA−~,则A,B同时正定,同时不正定。例如ACCBT=。如果A正定,则对每个0≠x()0==ACxCxACxCxBxxTTTT(C可逆,0≠x,0≠∴Cx!)我们给出关于正定的以下性质A正定EA−⇔~⇔存在实可逆矩阵C,CCAT=。A⇔的正惯性指数n=。A⇔的特征值全大于0。A⇔的每个顺序主子式全大于0。判断A正定的三种方法:①顺序主子式法。②特征值法。③定义法。基本概念对称矩阵AAT=。反对称矩阵AAT−=。简单阶梯形矩阵:台角位
本文标题:线性代数公式大全
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