均差与牛顿插值公式

12.3均差与牛顿插值公式问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化.能否重新在中寻找新的基函数？希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。()ilxnP2本讲主要内容:●Newton插值多项式的构造●差商的定义及性质●差分的定义及性质●等距节点Newton插值公式3))(()()(102010xxxxaxxaaxPn),()(10nnxxxxa（3.1）),,1,0()(njfxPjjn确定.其中为待定系数，naaa,,10可由个插值条件1n基函数是否构成的一组基函数？{}0010111,,()(),,()()()nxxxxxxxxxxxx-------()nPx41xx.01011xxffa.12010102022xxxxffxxffa依此递推可得到.naa,3当时，2xx21202202102))(()()(fxxxxaxxaaxPn推得101101)()(fxxaaxPn由，当时，0xx.)(000faxPn当时，推得由5称为函数关于点的一阶均差.000)()(],[xxxfxfxxfkkk)(xfkxx,0110010],[],[],,[xxxxfxxfxxxfkkk称为的二阶均差.)(xf定义2],,[],,[2102101xxxfaxxfa显然11102010],,[],,,[],,[kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf一般地，称为的阶均差k)(xf（均差也称为差商）.2.3.1均差及其性质6均差有如下的基本性质：.)())(()()(],,,[011010kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxxf这个性质可用归纳法证明.1°阶均差可表示为函数值的线性组合，)(,),(),(10kxfxfxfk这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性.即73°若在上存在阶导数，且节点)(xf],[ban],,[,,,10baxxxn].,[,!)(],,[)(10banfxxxfnn这公式可直接用罗尔定理证明.2°由性质1°及均差定义可得].,,,[],,,,[],,[0120110xxxfxxxxfxxxfkkk即则阶均差与导数关系如下：n.],,[],,[],,[010110xxxxfxxfxxxfkkkk8],,,,[],,,[],,[],[)(],,,[],,[],[)(],,[],[)(],[)()()(4321043214324344321032132332102122101100xxxxxfxxxxfxxxfxxfxfxxxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxfxkk四阶均差三阶均差二阶均差一阶均差1表2均差计算可列均差表如下（表2-1）.92.3.2牛顿插值公式根据均差定义，把看成上一点，可得x],[ba),](,[)()(000xxxxfxfxf),](,,[],[],[110100xxxxxfxxfxxf010101[,,,][,,,][,,,,]().nnnnfxxxfxxxfxxxxxx只要把后一式代入前一式，就得到)](,[)()(0100xxxxfxfxf))(](,,[10210xxxxxxxf),()(xRxNnn)()](,,,[1010nnxxxxxxxf)(],,,[10xxxxfnn10).,,1,0(],,,[0nkxxfakk称为牛顿（Newton）均差插值多项式.)(xNn系数就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.ka显然，由前式确定的多项式满足插值条件，)(xNn且次数不超过，n其系数为它就是形如（3.1）的多项式，)](,[)()(0100xxxxfxfxNn))(](,,[10210xxxxxxxf其中),()](,,,[1010nnxxxxxxxf),(],,,[)()()(10xxxxfxNxfxRnnnn11牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点.由插值多项式的唯一性可知Nn(x)Ln(x)，故其余项也相同，即(1)011()[,,,]()(),(1)!nnnnffxxxxxn(1)0()[,,,].(1)!nnffxxxn则0010010001010101()()()()[,]()()[,]()()()[,,]()()()kkkkNxfxNxfxfxxxxNxfxxxxNxNxfxxxxxxxx12解首先根据给定函数表造出均差表给出的函数表（见表2-2），求3次牛顿插值多项式，并由此计算的近似值.3)(xf例279313210kx)(kxf26924/361827323110三阶均差二阶均差一阶均差kx)(kxf)2)(1(34)1(221)(3xxxxxxxN2)221()121(2134)121(2122121)21(33N132.3.3差分与等距节点插值实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多.设函数在等距节点上的值为已知，这里为常数，称为步长.)(xfy),,1,0(0nkkhxxk)(kkxffh为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.14记号,1kkkfff定义称为在处以为步长的一阶（向前）差分.)(xfkxh利用一阶差分可定义二阶差分为.21212kkkkkkffffff一般地可定义阶差分为m.111kmkmkmfff15.:,1kkkkfEfEfIfI移位算子：引进不变算子.,)(IEΔfIEIfEfΔfkkkk可得到则一、差分的基本性质:00()(1)(1),nnnnjnjjkkknkjjjnnfEIfEffjj-+-==骣骣琪琪D=-=-=-琪琪桫桫邋00().nnnnjjnkkkkkjjnnfEfIfffjj+==轾骣骣犏琪琪==+D=D=D琪琪犏桫桫臌邋（2）函数值可用差分表示，如（1）差分可用函数值表示，如16,2],[],[],,[,],[(3)22212121111hfxxxxfxxfxxxfhfxxffxxfkkkkkkkkkkkkkkkkk差商与差分关系，如：1[,,],1,2,,.!mkkmkmfxxfmnmh+=D=一般地，()(),(,).nnnkkknfhfxxxx+D=?以及17计算各阶差分可按如下差分表进行.2300110222102333210231230niiiiiinnnnnnxfffffxfxffxfffxffffxfffff18020000()()(1)(1)(1)1!2!!nnnNxNxthttttttnffffn称上公式为牛顿前插公式,其余项为1(1)00(1)()()()()(1)!(,)nnnnntttnRxRxthhfnxx利用这些性质,可将Newton公式进一步简化为19()cos,0,1,,5,0.1(0.048).kfxxxkhkhf====给出的在处的函数值，用四次等距插值公式计算近似值，并估计误差例5解：先构造差分表如下：2345()0.001.000000.005000.100.995000.009930.01493kkxfxfffff0.000130.200.980070.009800.000120.024730.000250.000020.300.955340.009550.000100.034280.000350.400.921060.009200.043480.500.8775820取由牛顿前插公式得00.048,0.1,0.48,xxhth-====4(0.48)(0.481)(0.048)1.000000.48(0.00500)(0.00993)21+(0.48)(0.481)(0.482)(0.00013)3!1+(0.48)(0.481)(0.482)(0.483)(0.00012)4!=0.9988P-=+?+------5cos0.048»误差估计为5754(0.048)(1)(2)(3)(4)1.3433105!MRttttth-?---４其中5sin0.50.479.M=?212.4埃尔米特插值有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式.而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.22),,,1,0(,)(,)(njmxHyxHjjjj(4.1)这里共有个插值条件，可唯一确定一个次数不超过22n的多项式，12n)()(12xHxHn),,,1,0()(njxfmjj问题是求插值多项式，)(xH设在节点上，),(jjxfybxxxan10.)(12121012nnnxaxaaxH一般采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法来求.在此只讨论两个典型的例子.满足条件其形式为23求满足及)2,1,0()()(jxfxPjj)()(11xfxP由给定的4个条件，可确定次数不超过3的插值多项式.由于此多项式通过点)),(,()),(,()),(,(221100xfxxfxxfx)](,[)()(0100xxxxfxfxP))(](,,[10210xxxxxxxf的插值多项式及其余项表达式.例1故其形式为),)()((210xxxxxxA2.4.2两个典型的埃尔米特插值24.))((],,[)(],[)(210121001101xxxxxxxfxxxxfxfA待定常数，可由条件确定，)()(11xfxPA其中为待定函数.)(xk),())()(()(2210xxxxxxxkxR通过计算可得为了求出余项的表达式，)()()(xPxfxR可设25).())()(()()()(2210xtxtxtxktPtft显然),2,1,0(0)(jxj故在内有5个零点（二重根算两个）.)(t),(ba,0)(!4)()()4()4(xkf反复应用罗尔定理，得在内至少有一个零点ξ，)()4(t),(ba构造,0)(,0)(1xx且故有26),())()((!41)(2210)4(xxxxxxfxR(4.2)式中位于和所界定的范围内.210,,xxxx余项表达式为于是),(!41)()4(fxk27另一个典型例子是两点三次埃尔米特插值。相应的插值基函数为),(),(),(),(11xxxxkkkk它们取值情况如下表所示。,)(3kkyxH,)(3kkmxH.)(;)(113113kkkkmxHyxH(4.3)插值节点为及，kx1kx插值多项式为，)(3xH满足采用基函数的方法令31111()()()()()kkkkkkkkHxyxyxmxmx(4.4)28函数值一阶导数值10010000000010011kkxx+1kkxx+11()()()()kkkkxxxxaabb++因为在除函数值为零外其一阶导数值也是零，所以它必有因子.另外，最多是一个三次多项式，因此1,()kk