微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用

《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用1§6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用教学目标:掌握讨论函数的凹凸性和方法.教学要求:弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的凸性证明某些有关的命题.教学重点:利用导数研究函数的凸性教学难点:利用凸性证明相关命题教学方法:系统讲授法＋演示例题教学过程:引言上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系.什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数yx所表示的曲线是向上凸的,而2yx所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y＝f(x)的图形在区间I上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y＝f(x)的图形在区间I上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()fx在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x,2xI（12xx）.曲线()yfx上任意两点11(,())Axfx,11(,())Bxfx之间的图象位于弦AB的下方,即任意《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用212(,)xxx,()fx的值小于或等于弦AB在x点的函数值,弦AB的方程211121()()()()fxfxyxxfxxx.对任意12(,)xxx有211121()()()()()fxfxfxxxfxxx,整理得21122121()()()xxxxfxfxfxxxxx.令221()xxtxx,则有01t,且12(1)xtxtx,易得1211xxtxx,上式可写成1212[(1)]()(1)()ftxtxtfxtfx.一、凸函数定义以及与连续性的关系(一)凸（凹）函数的定义定义1设函数f为定义在区间I上的函数,若对I上任意两点1x、2x和任意实数(0,1)总有1212((1))()(1)()fxxfxfx,则称f为I上的凸函数.反之,如果总有1212((1))()(1)()fxxfxfx,则称f为I上的凹函数.注易证：若一f为区间I上的凸函数,则f为区间I上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可.定义2设曲线y＝f(x)在点(00,()xfx)处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点.必须指出；若(00,()xfx)是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点0x的导数不一定存在,如3yx在x＝0的情形.(二)凸函数的特征引理f为I上的凸函数对于I上任意三点123xxx总有：32212132()()()()fxfxfxfxxxxx(3)()fx严格凸函数上式严格不等式成立.《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用3证记3231xxxx,则01及213(1)xxx,由f的凸性知213()()(1)()fxfxfx3221133131()()xxxxfxfxxxxx(4)从而有312321213()()()()()()xxfxxxfxxxfx即322212321213()()()()()()()()xxfxxxfxxxfxxxfx整理即得(3)式.13,xxI13()xx,(0,1)记213(1)xxx,则123xxx,3221xxxx由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即123,,xxxI,123xxx,有31212131()()()()fxfxfxfxxxxx()fx严格凸函数上式严格不等式成立.定理设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．证明(证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如图所示,再在中任取两点.应用引理得到《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用4．令,则,．显然,上述L与中的点无关,故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．如果f是I上的可导函数,则进一步有：二、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题）设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数；（2）f为I上的增函数；（3）对I上的任意两点12,xx总有21121()()()()fxfxfxxx证(i)(ii),并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到．所以是上的递增函数．(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用5当时,也有相同结论．(iii)(i),并记,则有,由(iii)可得.注定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．如果f在I上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系）设f为I上的二阶可导函数,则在I上f为凸（凹）函数()0fx（()0fx）,xI.f为严格凸1）()0fx；2）()fx不在I上的任一子区间上恒为零.此定理说明：f为严格凸,则曲线中不含有直线段（()0fx）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为f凸,则f凹）.可导函数f有如下相互等价的论断：1）f为I上凹函数.2）123,,xxxI,123xxx有32212132()()()()fxfxfxfxxxxx.即割线斜率递减.《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用63）()fx为I上递减函数.4）0xI,有000()()()()fxfxfxxx,xI.当f在I上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价.5）在I上()0fx.对严格凹的情形可类似得出等价论断.二、拐点定义2设曲线y＝f(x)在点(00,()xfx)处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若(00,()xfx)是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点0x的导数不一定存在,如3yx在x＝0的情形.定理3（拐点必要条件）若f在0x二阶可导,则(00,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点的必要条件是0()0fx.综上知：(00,()xfx)的拐点,则要么（1）0()0fx；要么（2）f在0x点不可导.定理4设f在点0x可导,在某邻域0()Ux内二阶可导,若在0()Ux和0()Ux上()fx的符号相反,则(00,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点.例1讨论函数()arctanfxx的凸性与拐点.解222()(1)xfxx,因而当0x时,()0fx；当0x时,()0fx,从而函数f为(,0]上的凸函数,在[0,)上为凹函数.而()fx在原点连续,故原点为曲线()yfx的拐点例2若f在(,)ab内可导、凸（凹）函数,则0(,)xab为f的极小（大）值点0()0fx.即0x为f的稳定点.证）费马定理.）因f凸,故(,)xab有000()()()()fxfxfxxx.因0()0fx,故(,)xab总有0()()fxfx.即0x为f的极小值点.《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用7例3设f在开区间I上为凸（凹）函数,证明f在开区间I内任一点0x都存在左、右导数.证只证凸函数f在0x存在右导数,其它情形同理可证.令120hh,记101xxh,202xxh,则012xxx（取2||h充分小使02xhI）,由(3)式得：01002012()()()()fxhfxfxhfxhh记00()()()fxhfxFhh(0)h则有21()()FhFh即()Fh为单调递增函数.取4xI且40xx,则040004()()()()fxfxfxhfxxxh,从而()Fh递增有下界,从而0lim()hFh存在,即0()fx存在.注对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为.由第五章§1习题10知（若f在0x的左、右导数都存在,则f在0x连续）,若f在为开区间(,)ab内的凸（凹）函数,则f为(,)ab内的连续函数.（但不一定可导,如()||fxx）三、詹森(Jensen)不等式定理(詹森(Jensen)不等式)设f为[,]ab上的凸函数,[,]ixab,0i(1,2,,)in且11nii,则有11()()nniiiiiifxfx（6）成立.若f为严格凸函数,(1,2,,)ixin不全相等,则上式严格不等式成立.《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用8证用归纳法：2n时命题由凸函数定义显然成立.假设nk时命题成立,即0i(1,2,,)ik,11kii，则有11()()kkiiiiiifxfx.要证1nk时命题成立.设0i(1,2,,,1)ikk,111kii1111111111()()[(1)]1kkkiiiiiikkkkkiiikxfxfxxfx（由归纳法可知,当11nii,(,)ixab时1niiix(,)ab,因为111kiik,故111kiiikx(,)ab）11111(1)()()1kikikkikfxfx11111(1)()()1kikikkikfxfx11()kiiifx结论成立.注由于(6)式中当时即为凸函数的定义式(1),所以詹森不等式(6)也可用来作为凸函数的定义,而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用．对具体的函数套用Jensen不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.例4证明:对,,Ryx有不等式)(212yxyxeee.例5设0ix(1,2,,)in,则121212111nnnnxxxnxxxnxxx当且仅当所有ix全相等时等号成立.证所有ix全相等时,等号显然成立.只须证ix不全等时,有严格不等号成立即可.《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用9取()lnfxx,则f在(0,)上严格凸,由例4知1121211ln(ln)ln()nninixxxxxxxnn即1212lnlnnnnxxxxxxn因lnx严格增,故有1212nnnxxxxxxn又ix不全等1ix不全等,故11121111ln(ln)lnnniiniinxnnxxxx所以1211nnniinxxxx例6在⊿ABC中,求证233sinsinsinCBA.解考虑函数xxxfxxxfsin.0,0sin.0,sin)(在区间),0(内凹,由Jensen不等式,有233sin33)()()(3sinCsinBsinACBAfCfBfAf.233sinCsinB