线性系统的频域分析法-(2)

第五章线性系统的频域分析法5-1引言频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法，它反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性可以间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次，应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此，用频率特性法分析系统是很方便的。5-2频率特性一、频率特性的基本概念RUIU0C1()1GsTs()sinrtAt22()ARss/2222()sin()11tTAATcttarctgTeTT221()()()1ACsRsGsTss可见输出幅值是输入的，输出相位比输入滞后。2211TarctgT频率特性是当输入为正弦信号时，系统稳态输出（也是一个与输入同频率的正弦信号）与输入信号的幅值比，称为幅频特性；相角之差称为相频特性。()Gj221()()|1jarctgTsjGjGseT()Gj相频特性：幅频特性：()Gj22()lim()sin()1sstActcttarctgTT频率特性、传递函数和微分方程之间的关系1、幅相频率特性曲线（奈奎斯特）二、频率特性的几何表示法2、对数频率特性曲线3、对数幅相曲线5－3开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制一、典型环节的幅相频率特性曲线的绘制1比例环节ImReGj[()]0k1Gsk()1Gjk()1||Gjk()11||0Gj()2、积分环节和微分环节2211jGjej()23()jGjjeImRe090积分环节ImReGj[()]0090微分环节3、一阶惯性环节450.707ImReGj[()]10101Gj()1Gj()122111111arctgTGsGjeTsTjT()()4、一阶微分环节22111arctgTGsTsGjTjTe()()ImRe=0=∞5、二阶振荡环节12()()21nnKGsss122()12nnKGjj1222222122()0(1)42()10180nnnnKGjKGjarctg起点：终点：谐振峰值—振荡环节稳态输出能达到的最大幅值比谐振频率—使输出达到幅值时的频率值max()rMGmax:()rG6、二阶微分环节2221()21()21nnssGsss2222122212122()(1)4()122()1nnnnnnGjGjjGjarctg三、开环幅相特性曲线的绘制1、将开环传递函数按典型环节分解1111mjjnvviikjGjjjT()()()()2、确定幅相曲线的起点和终点求出G(j)H(j)→A(),()→A(0),(0)和A(∞),(∞)3、求与实轴交点令虚部为0，求出实部值4、求与虚轴交点令实部为0，求出虚部值例题：系统开环传递函数为)1)(1()(21sTsTKsG试概略绘制系统的开环幅相曲线。)()()()1)(1()()(21jQPejGjTjTKjGjoojGKjG1800)(,0)0(1)(1)()(2221TTKjG2111)()(TtgTtgjG)1)(1/()1()(222221221TTTTKP)1)(1/()()(22222121TTTTKQ解：0KP)0(21/1TT2121TTTTK与虚轴的交点：0)(P2122110)1(TTTTKy2121)(TTTTKQy例题：系统开环传递函数为)1)(1()(21sTsTsKsG试概略绘制系统的开环幅相曲线。)1)(1()1()([)1)(1()(2222212212121TTTTjTTKjTjTjKjG解：oojGjG2700)(,90)0(起点和终点：与实轴交点：令虚部为02122110)1(TTTTKx2121)](Re[TTTTKjGxj2121TTTTK四、典型环节对数频率特性1、比例环节()20lg()0GjKLK()L(dB)1010201001000101010010()20lgK10010001012、积分环节1()20lg()90GjjL()L(dB)2020400()9090020dB/dec0.010.11100.010.11103、微分环节()20lg()90GjjL()L(dB)2020400()9090020dB/dec0.010.11100.010.1110-404、一阶惯性环节22221111()20lg1()arg1()45arctgTGjTjeTLTtgTT()L(dB)()450200406090精确特性渐进特性20dB/dec1T5、一阶微分环节222211()20lg1()arg1()45arctgTGjTjTeLTtgTT()L(dB)2006020dB/dec20604040一阶微分环节()900一阶微分环节6、二阶振荡环节222argtg12222222222222112112()20lg122()argtg1()20lg10()20lg40lgnnjnnnnnnnnnnnnGjejjLLL()()()()()()2211212rnT21||21rrMGj()L(dB)()02004018020120600.10.20.30.50.71.00.10.20.30.50.71.01100.12340.20.30.40.60.868T202040040dB/decn10n-407、二阶微分环节222argtg122222222222222112()20lg122()argtg1()20lg10()20lg40lgnnjnnnnnnnnnnnnGjjjeLLL()()()()()()L(dB)202040040dB/decn10n-40五、开环对数幅频渐近特性曲线的绘制1、将开环传递函数按典型环节分解2、求出各典型环节的交接频率，按从小到大依次标在横坐标轴上3、绘制起始段渐近线（低频段min）低频段取决于K/v，即20lgK-v20lg，直线斜率为v×（-20dB/dec），直线通过（1，20lgK）4、从min开始，每经历一个交接频率，直线频率变化一次。一阶惯性-20dB/dec，二阶振荡-40dB/dec一阶微分20dB/dec，二阶微分40dB/dec5、对数相频曲线绘制：将各典型环节相角叠加，用描点法绘制。例题：系统开环传递函数为)11.0)(1()(sssKsG试绘制系统的对数幅频渐近特性曲线。解：交接频率：（1）1=1时：一阶惯性环节斜率变化-20dB/dec（2）2=10时：一阶惯性环节斜率变化-20dB/dec低频段，斜率-20dB/dec，=1，20lgK=20lg20=26dB过（1，26dB）点相频特性0.10.20.5125102050（）-96.3-102.5-116.6-140.7-164.7-195.3-219.3-240.6-257.55-4频率域稳定判据一、奈氏判据的数学基础1、幅角原理设F(s)为复变函数，在s平面上任一点s1，通过映射，在F(s)平面上的象F(s1)。*1212()()()()()()()mnKszszszFsspspsp当s沿s平面上C曲线顺时针运动一周（C曲线不通过F(s)的任一零点和极点），在F(s)平面上映射出一条闭合曲线F。s平面0jz1p1p2CF(s)平面0)(sF)(sFBFjF(s)相角变化11()()()mnijijFsszspC曲线内部F(s)零点（或极点）相角变化-2，C曲线外部F(s)零点（或极点）相角变化0，若C曲线包含p个F(s)极点和z个零点，则△∠F(s)=(p-z)2=R×2R_F包含原点的圈数。为闭环特征方程＋＋＝则＝若令)()()()()()()(1)()()()()()()(1)(sBsAsAsBsAsAsBsFsAsBsHsGsHsGsF2、F(s)与G(s)H(s)的关系点，则得到奈氏判据。所有右半平面的零、极能包含曲线点圈数，若选取，包含（包含原点圈数则曲线，向左平移一个单位得到得：将＝由极点为开环极点）（零点为闭环极点）（)()011)()()()(2)(1sFCjsFsHsGsFsFGHFGHF二、奈氏判据闭环稳定C曲线包含F(s)右半平面零点个数Z=0闭环所有极点位于S左半平面Z=P-R=0P=RP_开环右半平面极点数（不含虚轴上极点）R_GH曲线绕（-1，j0)点圈数Z-闭环右半平面极点数注意：GH曲线不经过（-1，j0)点。1、C曲线的选择jCjC××(1)G(s)H(s)在虚轴上无极点(2)G(s)H(s)在虚轴上有极点2、GH曲线的绘制处。的圆弧到，补画半径为处顺时针则从个重极点有若的圆弧。，时针补画半径为处，用虚线逆相曲线个积分环节，从开环幅有若，对应开环幅相曲线。为映射结果轴在虚轴上无极点，则虚若)()(180)()(,)()()3(900)()()2()()()0()()()1(nnnnnjHjGjHjGjSsHsGvvsHsGjHjGjSsHsG3、R的计算设为GH曲线穿越（-1，j0)左侧负实轴的次数N+__正穿越（相角增加），N-__负穿越（相角减小）R=2N=2(N+-N-)例题：系统开环传递函数为)1)(1()(21sTsTKsG判断闭环系统稳定性。0KP)0(21/1TT2121TTTTKR=0,P=0,Z=P-R=0闭环系统稳定解：例题：系统开环传递函数为)1)(1()(21sTsTsKsG试确定闭环系统稳定的K范围。j2121TTTTK解：12120,1,1,0,2()2,2,TTPKNNRNNZTT若闭环稳。不定12120,1,0,0,0,0TTPKNNRZTT若。闭环稳定例题：如图所示的奈氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。0ImRe101P0ImRe102P0ImRe100P0ImRe100P0ImRe100P0ImRe100P解：0ImRe101P0ImRe102