特殊四边形专题复习

特殊四边形专题复习项目四边形边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形平行且相等平行且相等平行且四边相等平行且四边相等两底平行两腰相等对角相等邻角互补四个角都是直角同一底上的角相等对角相等邻角互补四个角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角相等互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形二、几种特殊四边形的性质：四边形条件平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形三、几种特殊四边形的常用判定方法：1、定义：两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等4、对角线互相平分1、定义：有一角是直角的平行四边形2、三个角是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形1、定义：一组邻边相等的平行四边形2、四条边都相等的四边形3、对角线互相垂直的平行四边形1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2、有一组邻边相等的矩形3、有一个角是直角的菱形1、两腰相等的梯形2、在同一底上的两角相等的梯形3、对角线相等的梯形1、一组对边平行的四边形是梯形。（）2、一组对边平行，另一组对边相等的的四边形是平行四边形。（）3、两条对角线相等的四边形是矩形。（）4、一组邻边相等的的矩形是正方形。（）5、对角线互相垂直的四边形是菱形。（）6、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（）√x√判断题xxx2.若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件_________________使得四边形ABCD为菱形.AB=BCADBCADBC或AC⊥BD5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由。解：添加的条件__________AC＝BD我想到：三角形中位线定理HGFEADCB5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，并说明理由。解：添加的条件__________AC⊥BD我想到：三角形中位线定理HGFEADCB5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为正方形，并说明理由。解：添加的条件__________AC＝BD我想到：三角形中位线定理HGFEADCB且AC⊥BD6.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是.2.5我想到：平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等.7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形状.ABDCOP解:四边形CODP是菱形∵DP∥OC,DP=OC∴四边形CODP是平行四边形∵四边形ABCD是矩形∴CO=DO∴四边形CODP是菱形如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？图一AODPBCPCDOBA图二如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形状.ABDCOP8.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形.（1）当∠BAC等于时，四边形ADFE是矩形；（2）当∠BAC等于时，平行四边形ADFE不存在；（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.BCAEFD解:（3)AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。150°60°60°60°如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD于点F（1）求证OE=OF（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由ABCDOFEMABCDFEMO1.已知△ABC中,D是AB的中点,E是AC上的点,且∠ABE=∠BAC,EF∥AB,DF∥BE,请猜想DF与AE有怎样的特殊关系,并说明理由.AAEEDDFFCCBBAAEEDDFFCCBB猜想:DF与AE相等且互相平分.若要使AE⊥DF,点E还应满足什么条件?2.已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求证：MN∥BC.AMNEFCBQR提示:证明△ABQ和△CAR是等腰三角形3.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，点E、F在对角线AC上，试问：当BE、DF满足什么条件时，EF与BD互相平分？并说明理由．FBACDE例题选讲已知：如图，□ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点.求证：四边形EBFD为平行四边形.FEDCBA你还有其他方法吗？比较哪种方法更简单？已知：如图，DC//EF//AB，DA//GH//CB，图中有多少平行四边形？我能行1BFCGDEOHA已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD和CB的中点.求证：EF=AB我能行2BFCDEA已知：如图，ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形.HGFEDCBA我能行3FEDCBA已知：如图，ABCD中，E,F分别是对角线上两点，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．［例题］一张四边形纸板ＡＢＣＤ形状如图，（１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ＡＢＣＤ的四条边上，可怎样剪？ＥＦＧＨ⑵四边形ＡＢＣＤ满足什么情况下中点四边形ＥＦＧＨ为矩形？并说明理由．解：分别取ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，可剪得中点四边形ＥＦＧＨ为平行四边形．两条对角线互相垂直，ＡＣ⊥ＢＤDACB解：一张四边形纸板ＡＢＣＤ满足＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿时分别取ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，就能剪出中点四边形ＥＦＧＨ是矩形，BOACDＥＦＧＨ理由如下：∵ＧＨ是⊿ＡＣＤ的中位线∴ＧＨ∥ＡＣ１２３∵ＡＣ⊥ＢＤ∴∠１＝９０°（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）∴∠２＝∠１＝９０°∵ＥＨ是⊿ＡＢＤ的中位线∴ＥＨ∥ＢＤ∴∠３＝∠２＝９０°，４５（三角形的中位线平行于第三边）同理可得：∠４＝９０°，∠５＝９０°∴四边形ＥＦＧＨ是矩形．（三个角是直角的四边形是矩形）两条对角线互相垂直练习：已知:如图,AC与BD是矩形ABCD的两条对角线，ＡＥ＝ＣＧ＝ＢＦ＝ＤＨ．求证：四边形EFGH是矩形HGFCABDE例1：已知：如图，AC与BD相交于点O，ABCD且∠1=∠2。求证：四边形ABCD是矩形自我诊断1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A对角线相等B对角线垂直C对角线互相平分且相等D对角线垂直且相等2、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A菱形B平行四边形C矩形D不能确定EFMNPQACDBＣC合作交流、共同提高1.如图，在平行四边形ABCD中，已知两条对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．(第1题)（课本P105练习第一题）2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F在AC上，G、H在BD上，且AE=CF,BG=DH.求证：GF=HE.（第9题）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OCOB=OD∵AE=CF,BG=DH∴OE=OFOG=OH∴四边形是GFHE平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．∴GF=HE(平行四边形的对边相等）思考：证明两条线段相等常用哪些方法？如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,求证：BE=DF（第2题）综合应用、巩固提高（第2题）方法一：∵DE⊥AC,BF⊥AC∴DE∥BF,∠DEA=∠BFC=90。∵四边形ABCD是平行四边形∴DA=BC,DA∥BC∴∠DAE=∠BCF在AED和CBF中∵∠DEA=∠BFC=90,∠DAE=∠BCF,DA=BC∴△AED≌△CBF(A.A.S.)∴DE=BF∵DE∥BF∴四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴BE=DF(平行四边形的对边相等）方法二：连接BD，交AC于O点∵四边形ABCD是平行四边形∴OD=OB，OA=OC∵DE⊥AC,BF⊥AC∴∠DEA=∠BFC=90。∵DA∥BC∴∠DAE=∠BCF∵DA=BC∴△AED≌△CFB(A.A.S.)∴AE=CF∴OE=OF∴四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∴BE=DF(平行四边形的对边相等）O1、四边形的四条边分别为a,b,c,d,其中a,c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,那么这个四边形一定是（）A.两组对角分别相等的四边形B.平行四边形C.对角线互相垂直得四边形D.对角线相等的四边形B3。如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝Rｔ∠，E是AC的中点，EF⊥BD于F，求证：DF＝BF。ABCDEF注意：在已知条件中有直角三角形及斜边的中点时，常利用斜边的中线是斜边的一半这条性质。1.如图,四边形ABCD是正方形,△ABC是等边三角形.求:∠θ的度数.DBCAEθ2.已知:如图,四边形ABCD是一个正方形,E是BC延长线上的一个点,且AC=EC.求:∠DAE的度数.BDEAC3.已知:如图,△ABC的两条高为BE，CF，点M为BC的中点.求证:ME＝MF.ACBEFM3：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。BADCE注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。解：延长AD，BC交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A=60°，∴∠E=30°又∵AB=2∴BE=√3AB=2√3∵在Rt△CDE中，同理可得DE=√3CD=√3∴S四边形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE=AB·BE-CD·DE1212=×2×2√3-×1×√31212=√332212）将一个平行四边形的纸片沿一条对角线裁开，能拼成（）种凸四边形？3cbaabcccbbcc专题二折叠问题1)将菱形ABCD按图折叠，使A与B重合，折痕为MN，∠A与∠1之间数量关系为（）。DCM1ANB∠1＝2∠A①四边形ABCD是平行四边形证明：∵ΔBCE、ΔACF是等边三角形∴∠BCE＝∠ACF=60°即∠1＋∠3=∠2＋∠3=60°∴∠1=∠2又∵CB＝CE、CA＝CF∴ΔBAC≌ΔFEC（SAS）∴AB＝EF又∵AB＝AD∴AD＝EF同理可证：ΔBAC≌ΔBDE∴DE＝AF∴四边形ABCD是EFDBC2312）已知：以三角形ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ΔABD、ΔBCE、ΔACF（1）四边形ADEF是什么四边形？说明理由。A（2）请猜测当ΔABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？当∠BAC等于150°时，四边形ADEF是矩形。（3）请猜测当ΔABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？当∠BAC等于60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。2）已知：以三角形ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ΔABD、ΔBCE、ΔACF（1）四边形ADEF是什么四边形？说明理由。EFDABCADMPNBC1）梯形ABCD中，AD∥BC，中位线MN与对角线BD交于点P①试判断BP与DP的大小关系（BP=DP）专