2018届中考数学总复习(福建)：专题四-综合与探究-类型一-几何图形综合题

2018届中考数学总复习（福建）：专题四综合与探究类型一几何图形综合题1/8专题四综合与探究类型一几何图形综合题例1(2017·黄冈)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P、点Q的运动时间为t(s)．(1)当t＝1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；(2)当t＝2s时，求tan∠QPA的值；(3)当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t(s)的值；(4)连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．例1题图备用图①备用图②【思路点拨】(1)根据t＝1s时得到P点坐标，利用待定系数法求解即可；(2)t＝2s时，点P与点B重合，则∠QPA的正切值与∠QBA的正切值相等，只需求出QA的长度，再利用正切定义求解即可；(3)线段CP与QA均可用t表示出来，当PQ与AB相交时，根据矩形对边平行，可得到两个相似三角形，再利用线段比，求得t的值；(4)要确定重合部分面积与t之间的关系，则需要分情况讨论，当△CPQ在矩形OABC内、当PQ与AB相交和当CQ与AB相交，根据图形的性质进行求解即可．注意t的取值范围．解：(1)依题意得，A(4，0)，B(4，3)．当t＝1s时，CP＝2，∴P(2，3)．设经过O、P、A三点抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，将P(2，3)代入解析式中，则有2×(2－4)a＝3，∴a＝－34，∴y＝－34x(x－4)＝－34x2＋3x；【一题多解】依题意得，A(4，0)，B(4，3)．当t＝1s时，CP＝2，∴P(2，3)．2018届中考数学总复习（福建）：专题四综合与探究类型一几何图形综合题2/8设经过O、P、A三点抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将O，P，A三点代入得[来源:学。科。网Z。X。X。K]c＝0，4a＋2b＋c＝3，16a＋4b＋c＝0，解得a＝－34，b＝3，c＝0.∴抛物线的解析式为y＝－34x2＋3x；(2)当t＝2s时，CP＝4，OQ＝2，∴AQ＝OA－OQ＝4－2＝2.又∵CB＝4，∴此时点P与点B重合，∴∠QPA＝∠QBA，∴在Rt△QBA中，tan∠QPA＝tan∠QBA＝QAAB＝23；(3)如解图①，设线段PQ与线段BA相交于点M，依题意有：CP＝2t，OQ＝t，∴BP＝2t－4，AQ＝4－t.∵CB∥OA，∴△BMP∽△AMQ，∴BPAQ＝BMAM＝2，∴BP＝2AQ，即2t－4＝2(4－t)，∴t＝3；例1题解图①例1题解图②(4)当0≤t≤2时，如解图②，S＝S△CPQ＝12·2t·3＝3t；当2t≤4，如解图③，设线段AB与线段PQ相交于点D，过点Q作QN⊥CP于点N，则△BDP∽△NQP，∴BDNQ＝BPNP，[来源:学。科。网Z。X。X。K]又∵NQ＝CO＝3，BP＝CP－CB＝2t－4，且NP＝CP－CN＝CP－OQ＝2t－t＝t，∴BD3＝2t－4t，∴BD＝3（2t－4）t.∴S＝S四边形CQDB＝S△CQP－S△BDP＝12·2t·3－12(2t－4)·3（2t－4）t＝－3t2＋24t－24t＝－3t＋24－24t；2018届中考数学总复习（福建）：专题四综合与探究类型一几何图形综合题3/8例1题解图③例1题解图④当t4时，如解图④，设线段AB与线段CQ相交于点M，过点Q作QN⊥CP于点N，则△CBM∽△CNQ，∴CBCN＝BMNQ，又∵CB＝OA＝4，CN＝OQ＝t，NQ＝3，∴4t＝BM3，∴BM＝12t，S＝S△CBM＝12BC·BM＝12×4×12t＝24t.∴S＝3t，（0≤t≤2），－3t＋24－24t，（2t≤4），24t.（t4）.【针对练习】1．(2017·衡阳)如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连接CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，GF交CD延长线于点N.第1题图(1)证明：点A、D、F在同一条直线上；(2)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；(3)连接EF、MN，当MN∥EF时，求AE的长．(1)证明：如解图①，在△CDF与△CBE中，CF＝CE，∠DCF＝∠BCE，CD＝CB，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠CDF＝∠B＝90°，∴∠ADF＝∠CDF＋∠CDA＝180°，∴点A、D、F在同一条直线上；(2)解：如解图①，设BE＝x，则AE＝1－x，由(1)得DF＝BE＝x，2018届中考数学总复习（福建）：专题四综合与探究类型一几何图形综合题4/8易证∠DCF＝∠AEH，∴tan∠DCF＝tan∠AEH＝DFCD＝AHAE，∴x1＝AH1－x，解得AH＝x－x2，∴DH＝1－AH＝(x－12)2＋34，∴当x＝12时，DH有最小值，DH最小＝34；第1题解图(3)解：如解图②，过点E作EP⊥AC于点P，易证四边形CFGE为正方形(邻边相等的矩形)，∵EF∥MN，FNFG＝EMEG，且FG＝EG，∴FN＝EM，在△CFN和△CEM中，FN＝EM，∠CFN＝∠CEM，CF＝CE，∴△CFN≌△CEM(SAS)，∴∠FCN＝∠ECM.由(1)得：∠FCN＝∠ECB，∴∠ECM＝∠ECB，∴EP＝EB，∴sin∠EAP＝EPAE＝EBAE＝x1－x＝22，解得：x＝2－1，则AE＝1－x＝1－(2－1)＝2－2.2．(2017·丽水)如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE＝n.第2题图(1)求证：AE＝GE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．(1)证明：由对称得AE＝FE，∴∠EAF＝∠EFA，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∵GF⊥AF，∴∠EAF＋∠FGA＝∠EFA＋∠EFG＝90°，∴∠FGA＝∠EFG，∴EG＝EF，∴AE＝EG；(2)解：设AE＝a，则AD＝na，如解图①，当点F落在AC上时，由对称得BE⊥AF，∴∠ABE＋∠BAC＝90°，∵∠DAC＋∠BAC＝90°，∴∠ABE＝∠DAC，2018届中考数学总复习（福建）：专题四综合与探究类型一几何图形综合题5/8又∵∠BAE＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DAC，∴ABDA＝AEDC，∵AB＝DC，∴AB2＝AD·AE＝na·a＝na2；∵AB0，∴AB＝na.∴ADAB＝nana＝n；第2题解图①第2题解图②(3)解：若AD＝4AB，则AB＝n4a，如解图②，当点F落在线段BC上时，EF＝AE＝AB＝a，此时n4a＝a，∴n＝4，∴当点F落在矩形内部时，n4，∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，∴∠FCG∠BCD，∴∠FCG90°.①若∠CFG＝90°，则点F落在AC上，由(2)得ADAB＝n，即4ABAB＝n，∴n＝16；[来源:]②如解图③，若∠CGF＝90°，则∠CGD＋∠AGF＝90°，第2题解图③∵∠FAG＋∠AGF＝90°，∴∠CGD＝∠FAG＝∠ABE，∵∠BAE＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DGC，∴ABDG＝AEDC，∴AB·DC＝DG·AE，即(n4a)2＝(n－2)a·a，解得n1＝8＋42，n2＝8－424(不合题意，舍去)，∴当n＝16或n＝8＋42，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．3．(2017·广东)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A、C的坐标分别是A(0，2)和C(23，0)，点D是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.(1)填空：点B的坐标为(23，2)；(2)是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由：(3)①求证：DEDB＝33；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式(可利用①的结论)，并求出y的最小值．2018届中考数学总复习（福建）：专题四综合与探究类型一几何图形综合题6/8图①图②第3题图(2)解：存在．理由：①如解图①，若DE＝CE，点E在线段OC上．由题知tan∠ECD＝OAOC＝33，∴∠ECD＝30°，∴∠CDE＝∠DCE＝30°，∵DE⊥BD，∴∠BDC＝60°.∵∠BCD＝90°－∠ECD＝60°，∴△BCD是等边三角形，CD＝BD＝BC＝2，∵AC＝OA2＋OC2＝4，∴AD＝AC－CD＝4－2＝2；第3题解图①第3题解图②②如解图②，若CD＝CE，点E在OC的延长线上．∵∠ACO＝30°，∴∠CDE＝∠CED＝15°，∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠ADB＝180°－∠BDE－∠CDE＝75°，∵∠BAC＝∠OCA＝30°，∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠BAC＝75°，∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝AB＝OC＝23；③若CD＝DE，则∠DEC＝∠DCE＝30°或∠DEC＝∠DCE＝150°(舍去)，此时，∠CDE90°，不符合题意，舍去，综上所述，当△EDC为等腰三角形时，AD的长为2或23.(3)①证明：如解图③，过点D分别作DG⊥OC于点G，DH⊥BC于点H，∵∠EDG＋∠EDH＝∠BDH＋∠EDH＝90°，∴∠EDG＝∠BDH，在△EDG和△BDH中，∠EDG＝∠BDH，∠DGE＝∠DHB＝90°，∴△EDG∽△BDH，∴DGDH＝DEDB，∵DH＝CG，∴DGCG＝tan∠ACO＝tan30°＝33，∴DEDB＝33；2018届中考数学总复习（福建）：专题四综合与探究类型一几何图形综合题7/8第3题解图③第3题解图④②解：如解图④，过点D作DI⊥AB于点I，∵AD＝x，∴DI＝x2，AI＝3x2，又∵AB＝23，∴BD2＝BI2＋DI2＝(23－3x2)2＋x24，∴y＝BD·DE＝33BD2＝33[x24＋(23－32x)2]＝33(x－3)2＋3，∴当x＝3时，y有最小值，y的最小值是3.4.(2017·黄石)在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为2∶1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”．在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP＝BC，如图所示．(1)如图①，求证：BA＝BP；(2)如图②，点Q在DC上，且DQ＝CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求CGGB的值；(3)如图③，已知AD＝1，在(2)的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM＝BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．图①图②图③第4题图(1)证明：∵PC＝BC，∠BCP＝90°，∴BP＝2BC，又∵矩形ABCD为“标准矩形”，∴AB＝2BC，∴AB＝BP；(2)解：如解图①，作点Q关于直线BC对称的点F，连接AF交BC于点E，连接QE、GF，2018届中考数学总复习（福建）：专题四综合与探究类型一几何图形综合题8/8∵DQ＝CP，∴CQ＝DP＝CF且AQ为定值，∴EQ＝EF，GQ＝GF，∵AQ为定值，要使△AGQ的周长最小时，∴只需AG＋GQ＝AG＋GF最小，显然AG＋GF≥AF＝AE＋EF＝AE＋EQ，即当点G与点E重合时，△AGQ的周长最小，此时CGGB＝CEEB＝CFAB＝DPAB，[来源:]∵DPAB＝CD－CPAB＝AB－BCAB＝1－BCAB＝1－22，∴当△AGQ的周长最小时CGGB＝1－22；第4题解图①第4题解图②(3