2014高中数学-2.2.2-用样本的数字特征估计总体的数字特征课件(1)新人教A版必修3

（一）众数、中位数、平均数1.众数、中位数、平均数的概念（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.（3）平均数:一组数据的算术平均数,即)(121nxxxnX温故知新在初中我们学过众数、中位数和平均数的有关知识，这些数据都是反映样本信息的数字特征，它们又是如何定义的？巩固练习在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位:m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111这组数据的平均数是：(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m).答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m,1.70m,1.69m.分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．解：由表中数据可知：1.75出现了4次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是1.75.上表数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中最中间和数据为1.70，所以这组数据的中位数是1.70；月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O众数应该在面积最大的矩形内，所以猜测众数2~2.5范围之内，一般地，取最高矩形下端中点的横坐标2.25作为众数.诱思探究1在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？众数：最高矩形下端中点的横坐标月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O图中矩形的面积代表什么？中位数两边的图形面积有什么联系？如何用频率分布直方图估计中位数？中位数两边的面积是相等的，都是0.5，从左至右各矩形的面积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02,前四组之和为0.49，中位数在第五组。诱思探究2中位数：2+0.5×（0.01/0.25)=2.02中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标．月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O用频率分布直方图，你能估算样本的平均数吗？0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.诱思探究3平均数等于各矩形面积与矩形底边中点的横坐标积的和。平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和．从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？答：频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.注:在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征.诱思探究4诱思探究5求众数、中位数、平均数有哪些不同的方法？2.众数、中位数、平均数的方法：（1）用样本数据计算；（2）用频率分布直方图估算。诱思探究6根据众数、中位数、平均数各自的特点，你能分析它们对反映总体存在的不足之处吗？答：(1)众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；(2)中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点；(3)由于平均数与每一个样本的数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数、中位数都不具有的性质.也正因如此,与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计时可靠性降低.注：使用者常根据自己的利益选择众数、中位数、平均数来描述数据的中心位置，从而产后一些误导。假设你是一名交通部门的工作人员。你打算向市长报告国家对本市26条公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2200万元人民币，另外25个项目的投资在20万与100万．中位数是25万，平均数是100万，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示每一个项目的国家投资？你选择这种数字特征的缺点是什么？（课本第74练习)答：选择平均数更好。因为，此时的众数20万比中位数25万还小，所以众数代表的是局部的数。中位数代表的虽然是大多数公路投资的数额，但由于其不受极端值的影响，不能代表全体，因而此时成了它的缺点。选择平均数较好，能比较好的代表整体水平，但缺点是仍不能显示出具体的数字特征课堂练习1以往的招生统计数据显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分．你的一位校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先查阅一下这所大学招生的其他信息？解释一下你的选择。答：应立即劝这位同学查阅一下这所大学招生的其它信息。查看一下这所大学近几年招生的平均数，如果平均数低于550分，说明这所大学每年的招生中，存在只招入少数高分学生的现象，大部分学生都是低于中位数录取的,可以报报看，否则不能报。如果能查到该校每年录取的最低分数线那是最好的课堂练习2（课本第81页习题2.2A组3)某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：职业董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．(2)若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？课堂练习3解：(1)公司职工月工资的平均数为x＝5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×2033＝6900033≈2091(元)．若把所有数据从大到小排序，则得到：中位数是1500元，众数是1500元．(2)若董事长、副董事长的工资提升后,职工月工资的平均数为x＝30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×2033＝10850033≈3288(元)．∴中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．小结:样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息．平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．课外作业某工厂人员及工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资2200250220200100人数16510123合计22001500110020001006900(1)指出这个问题中周工资的平均数．(2)这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？解(1)x=123(2200+6×250+5×220+10×200+100)＝300.(2)因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．