3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)

3.2一元二次不等式及其解法（2）第三章不等式学习目标：2.掌握分式不等式的解法。3.掌握含参不等式的解法。学习新知：0)3-)(2-)(1-(xxx解不等式：)3-)(2-)(1-()(xxxxf=令的根，求方程0)(=xf3,2,1321===xxx出：的根，依次在数轴上标将方程0)(=xf0123++--.曲线穿过这些根从右到左，依次用一条原不等式的解集为：∴{}321xxx或归纳：.)1(标准形式将一元高次不等式化成0②不等式的右边为系数为正数；①不等式的最高次项的.)2(积的形式解为若干个一次因式乘将不等式的左边因式分.)3(根求不等式对应的方程的标出所有的根。画出数轴，并在数轴上)4(否则用实心圆点。空心的圆点标出，这个不等式的解时，用特别地，当这个根不是.)5(曲线穿过这些根从右到左，依次用一条.)6(集和下方写出不等式的解根据曲线在数轴的上方穿根法（根轴法、标根法）)(奇穿偶不穿.1例0)2-)(3-2)(1-(23≥+xxxx解不等式：解：原不等式可化为：0)2-)(3)(1-)(1)(1-(2≥+++xxxxxx0)2-)(3)(1()1-(22≥+++xxxxx1)21(-)21(12222+++=++xxxx43)21(2++=x043≥0)2-)(3()1-(2≥+∴xxx2,3-,10)2-)(3()1-(∴3212====+xxxxxx的根为：3-12+--+原不等式的解集为：∴{}123-=≥≤xxxx或或奇穿偶不穿的解集是不等式0)6-)(4-(.122≤xx解：原不等式可化为：0)6-)(2-)(2(2≤+xxx6,2-,20)6-)(2-)(2(∴3212====+xxxxxx的根为：2-62+-++原不等式的解集为：∴{}622-=≤≤xxxx或{}622-=≤≤xxxx或025-2.223++xxx解不等式：025-2.223++xxx解不等式：解：原不等式可化为：025-)2-3(2223++xxxx025-2-32223++xxxx0)25-3()2-2(223++xxxx0)1-2)(-3()1-(22+xxxx131-2-02)-32)(1-(2+xxx1221-0)21)(-2)(1-(+xxx.的过程请同学们接着完成下面0)()(xgxf⇔0)()(•xgxf0)()(≥xgxf⇔0)(0)()(≠≥•xgxgxf0)()(xgxf⇔0)()(•xgxf0)()(≤xgxf⇔0≠)(0)()(xgxgxf≤•；移项、将右边化为0)1(通分整理；)2(.)3(整式不等式改为相乘，从而转化为利用等价关系，将相除.2例的解集为不等式14-31-2xx解：原不等式可化为：01-4-31-2xx04-34-3-4-31-2xxxx04-3)4-3(-)1-2(xxx04-34-6xx03-44-6xx0)3-4)(4-6(∴xxxyO433243,320)3-4)(4-6(∴21===xxxx的根为的图像开口向上，而)3-4)(4-6(xxy=的解集为：0)3-4)(4-6(∴xx}4332{xx集为：即，原分式不等式的解}4332{xx的解集为不等式21-.1≥xx解：02-1-⇔21-≥≥xxxx02-1-⇔≥xxx01--⇔≥xx01⇔≤+xx⇔00)1(≠≤+xxx得解,0)1(≤+xx{}01-≤≤xx：原分式不等式的解集为∴{}01-≤xx.0-41256-.222++xxxx解不等式解：012-4-56-0-41256-2222+⇔++xxxxxxxx0)6-)(2()5-)(1-(⇔+xxxx⇔0)6-)(2()5-)(1-(+•xxxx的根为：0)6-)(2()5-)(1-(=+•∴xxxx6,2-,5,14321====xxxx2-61-+5+-+：原分式不等式的解集为∴{}6512-xxxx或或.3例0--32mmxxx的不等式解关于解：)-(34-)-(Δ2mm•×=mm122+=)12(+=mm，当0Δ即,0)12(+mm012-∴mRmmxx的解集为：此时，不等式0--32，当0Δ=即,0)12(=+mm12-0∴或=m时，0=m原不等式可化为：032x{}0≠,∈xRxx且此时，解集为：时，12-=m原不等式可化为：0121232++xx{}2-≠,∈xRxx且此时，解集为：，当0Δ即,0)12(+mm012-∴mm或，得由方程0--32=mmxx612221mmmx+±=、原不等式的解集为：}612612-{22mmmxmmmx+++的不等式：解关于x；)(04)1(2Raaxx∈++解：61-Δ2a=)4-)(4(aa+=，当0Δ即,0)4-)(4(+aa44-∴aRaxx的解集为：此时，不等式042++，当0Δ=即,0)4-)(4(=+aa44-∴或=a时，-4=a原不等式可化为：044-2+xx{}2≠,∈xRxx且此时，解集为：时，4=a原不等式可化为：0442++xx{}2-≠,∈xRxx且此时，解集为：，当0Δ即,0)4-)(4(+aa44-∴aa或，得由方程042=++axx216--221aax±=、原不等式的解集为：}216--216---{22aaxaax+0)()2(322+++axaax解：原不等式可化为：0))((2++axax112aa2212-,-0))((axaxaxax===++∴的根为：方程，当2--aa即时，或01aa{}2--axaxx或原不等式的解集为：，当2--aa=即10==aa或{}0≠,∈xRxx且原不等式的解集为：，若0=a原不等式为：02x，若1=a原不等式为：0122++xx{}1-≠,∈xRxx且原不等式的解集为：，当2--aa即10a{}axaxx--2或原不等式的解集为：.4例[]恒成立，时，若对于设0)(1,3∈,6--)(2+=xfxmmxmxxf.的取值范围求实数m解：6--)(2mmxmxxf+=6-)-(2mxxm+=6-43)21-(2mxm+=0[]恒成立，在3,1∈x时，当0=∴m.0,6-显然成立时，当0mxyO21310)3(f即06-7m76m解得，时，当0mxyO21310)1(f即06-m6m解得，760∴m0∴m76m综上所述，().042,12的取值范围恒成立，求时，不等式当mmxxx++∈4)(2++=mxxxf设解：2-m称轴为：则抛物线开口向上，对①xyO12-m2②xyO12-m2xyO12-m2③0)2(12-fm0)2(0)1(22-1ffm0)1(22-fm.4例).0(12-)1-(axxax的分式不等式解关于解：原不等式可化为：01-2-)1-(xxa02-2--2-)1-(xxxxa02-)2-(-)1-(xxxa02--2)1-(+xaxa0)2-(]-2)1-[(•+∴xaxa时，当1=a{}2xx不等式的解集为：时，当1≠a的根为：方程0)2-(]-2)1-[(∴=•+xaxa2,1-2-21==xaax=2-1-2-aa1--aa0a又时，10∴a21-2-aa时，1a21-2-aa}1-2-2{aaxx不等式的解集为：}21-2-{xaaxx或不等式的解集为：综上所述，.01--208-22的取值范围恒成立，求实数对于一切若不等式mxmxmxxx+解：208-2+xx204-48-222++=xx4)4-(2+=x0∴01--208-22+mxmxxx⇔01--2mxmx时，当0=m01-.不等式成立时，当0≠m足要使不等式成立，应满0Δ0m即0402+mmm解得，04-m04-≤m综上所述，4.根的分布问题：.1例.06)63(-)2-(2的取值范围求有两个负根，的方程已知关于kkxkxkx=++0Δ≥021+xx021•xx分析：⇒06)2-(4-)63(2•+kkk02-63+kk02-6kk解得，652-≤≤k22-k20kk或⇒052-≤k.2例.3102-05-32而小于，另一根大于而小于的一根大于的方程关于在什么范围内取值时，实数=+axxxaaxxxf+=5-3)(2令分析：，而小于的一根大于方程02-05-32=+axx.31而小于另一根大于0Δ∴312-Oxy•••0)-2(f0)0(f0)1(f0)3(f∴⇒01012++a0a05-3+a015-27+a⇒012-a.3例.42-01-2-22的取值范围求实数之间，和的两个实数根介于的方程关于tttxxx=+分析：1-2-)(22ttxxxf+=令之间，和的两根介于方程42-01-2-22=+ttxx0Δ∴t称轴为：则抛物线开口向上，对Oxy2-•4•t∴0)-2(f0)4(f42-t⇒0342++tt0158-2+tt42-t⇒31-t总结：对于二次方程根的分布问题只有当方程有两个正根、两个负根、一个正根和一个负根这三种情况时，可以直接使用韦达定理。其余情况都不能直接使用，建议使用：根的判别式、对称轴、特殊值这三个条件构成的不等式组求参数的范围。