2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.2.2椭圆的简单几何性质(1)》-课件

2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质问题引航1.通过椭圆的方程能得出椭圆有哪些几何性质?2.椭圆离心率的大小是如何影响椭圆扁平程度的?焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程________________________________图形椭圆的简单几何性质2222xy1ab0ab2222yx1ab0ab焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上对称性对称轴_________,对称中心______范围x∈_______,y∈_______x∈_______,y∈_______顶点__________________________________________________________________轴长短轴|B1B2|=___,长轴|A1A2|=___焦点________________________________焦距|F1F2|=___离心率e=_____(0e1)x轴和y轴(0,0)[-a,a][-b,b][-b,b][-a,a]A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)2b2aF1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)2cca1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)椭圆(ab0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c.()(3)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆.()2222xy1ab【解析】(1)错误，椭圆(ab0)的长轴长等于2a.(2)正确，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a-c.(3)正确.离心率越小c就越小，这时b就越接近于a,椭圆就越圆.答案：(1)×(2)√(3)√2222xy1abcea2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)椭圆x2+9y2=36的短轴的端点为________.(2)椭圆的离心率e=________.(3)设P(m,n)是椭圆上任意一点，则m的取值范围是________.22xy14922xy1259【解析】(1)由x2+9y2=36,得所以b2=4,b=2.因此短轴的端点坐标为(0,2)，(0,-2).答案：(0，2),(0,-2)(2)由所以a2=9,b2=4,所以c2=5,所以答案：22xy1364，22xy149，c5e.a353(3)由得a=5,所以m∈［-5,5］.答案：［-5,5］22xy1259，【要点探究】知识点椭圆的简单几何性质1.椭圆的范围椭圆的范围决定了椭圆的大小,它位于四条直线x=±a,y=±b围成的矩形内,即-a≤x≤a,-b≤y≤b.椭圆的范围在解决与椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时,常常涉及.2.椭圆方程(a＞b＞0)中a,b,c的几何意义在方程(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示.即a,b,c正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形.2222xy1ab2222xy1ab3.椭圆的离心率【知识拓展】椭圆的通径过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其长度为22b.a【微思考】(1)由椭圆的几何性质可知，要确定椭圆的标准方程需要确定什么？提示：首先要确定焦点位置，其次需要确定a,b的值.(2)求椭圆离心率的关键是什么？提示：根据a2-b2=c2，因此要确定椭圆的离心率，关键是找出a,b,c的等量关系.ce,a【即时练】写出椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.【解析】由方程得a=12，b=8,所以长轴长和短轴长分别为2a=24和2b=16，离心率又焦点在x轴上，所以两个焦点坐标分别是和四个顶点坐标分别是(-12,0),(12,0),(0,-8)和(0,8).22xy11446422xy114464c45，c45ea125.3(45,0)45,0.【题型示范】类型一利用几何性质求椭圆的标准方程【典例1】(1)(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于则C的方程是()(2)已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，求椭圆的标准方程.12，22222222xyxyA1B13443xyxyC1D14243．．．．【解题探究】1.题(1)中由右焦点F(1,0)及可直接求出什么？2.题(2)由焦点与短轴两端点的连线互相垂直，能得出什么条件？【探究提示】1.可直接求出长半轴长的值.2.能得出三点所构成的三角形是等腰直角三角形.1e2【自主解答】(1)选D.设C的方程为(ab0)，则c=1,C的方程是(2)设椭圆方程为(a＞b＞0)如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形.OF为斜边A1A2上的中线(高),且|OF|=c，|A1A2|=2b，所以c=b=4,所以a2=b2+c2=32.故所求椭圆的标准方程为2222xy1abc1e,a2,b3a2，22xy1.432222xy1ab22xy1.3216【方法技巧】利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项(1)基本步骤:(2)注意事项:当椭圆的焦点位置不确定时,通常要分类讨论,分别设出标准方程求解,可确定类型的量有焦点、顶点;而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距.【变式训练】(2014·济宁高二检测)若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为离心率为则该椭圆的方程为()23，33，222222222222xyxyyxA.1B.11128128128xyxyyxC.1D.11323232或或【解析】选D.由题意得又所以c=1，所以b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆方程为或a3，3e3，22xy13222yx1.32【误区警示】本题易错选C答案，错误的原因是误认为焦点在x轴上，而忽视讨论焦点位置.【补偿训练】若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为()【解析】选B.由一个焦点坐标为(3,0)，知c=3，且椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为:(a＞b＞0)，由2a+2b=18，即a+b=9,结合9=a2-b2，得a=5,b=4.22222222xyxyA.1B.19162516xyxyC.1D.116251692222xy1ab类型二与离心率有关的问题【典例2】(1)椭圆为(a＞b＞0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2，D是它短轴的一个端点，若则该椭圆的离心率为()2222xy1ab123DFDA2DFuuuruuuruuur，1111A.B.C.D.2345(2)设椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，|AF2|＜|AF1|且AF1⊥AF2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则椭圆的离心率为()(3)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率.2222xy1ab1212A.B.31C.D.2132【解题探究】1.题(1)由条件能得到什么结论？2.题(2)求解离心率的关键是什么？3.题(3)当椭圆中涉及其他平面几何图形时，一般要注意什么？123DFDA2DFuuuruuuruuur【探究提示】1.将向量的等量关系转化为坐标间的关系，取D(0，b)得3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b).2.由题意求a,c的值或构造a,c的关系式，求的值.3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几何性质，找关系，列等式.ca【自主解答】(1)选D.由题意，A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),不妨设D(0,b),因为所以3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b),即所以a=5c,所以123DFDA2DF,uuuruuuruuur3ca2c,3b3b,c1e.a5(2)选B.因为AF1⊥AF2，OB⊥AF1,所以|OB|=|AF2|=|OF1|=c.所以|AF2|=c,又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以|AF1|=所以2a=|AF1|+|AF2|=所以1212123c,31c,e31.(3)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1=30°,令|AF1|=x,则|AF2|=2x,所以再由椭圆的定义，可知|AF1|+|AF2|=2a=3x,所以221221FFAFAF3x2c,2c3x3e.2a3x3【延伸探究】题(3)中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”.如何求椭圆的离心率？【解析】如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，所以F2B⊥BF1.又因为∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝3c.据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即所以所以椭圆的离心率为c3c2a＋＝，c31.a＝－e31.＝－【方法技巧】求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a,c可直接利用求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式求解.(2)方程法：若a,c的值不可求，则可根据条件建立a,b,c的关系式，借助于a2=b2+c2，转化为关于a,c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.ceacea【变式训练】(2014·江西高考)设椭圆C:=1(ab0)的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,F1B与y轴交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于.【解题指南】用a,b,c表示出点A,D,F1,B的坐标,然后利用线线垂直的条件求解.2222xyab【解析】不妨令A(c,)，B(c,-)，F1(-c,0)，所以直线F1B的方程为y=(x+c)，令x=0可得y=即因为AD⊥F1B，所以-2c2+=0，整理得b2=2ac，2ba2ba2b2ac2b2a，2221b3bbD(0,)AD(c,)FB(2c,)2a2aa，，－，423b2a3故a2－c2=2ac，即e2+2e－=0，解得e=（负值舍去）.答案：33333333【补偿训练】已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m＞0)，则此椭圆的离心率为()【解析】选B.化为标准方程为(m＞0),因为所以所以得1321A.B.C.D.332222xy1mm2322mma,b23，2mc,622c1a3，3e.3【规范解答】与椭圆离心率范围有关的问题【典例】(12分)已知椭圆M：(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是椭圆M上的任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围为(其中c2=a2-b2),求椭圆离心率e的取值范围.2222xy1ab221[c,3c]2【审题】抓信息,找思路【解题】明步骤,得高分【点题】警误区,促提升失分点1:解题时若忽视①处定义的应用,找不到解题关键,则会导致对题目无从下手,从而无法得分.失分点2:若在②处基本不等式的知识掌握不熟练,无法求出|PF1|·|PF2|的最值,则会导致解题思路受阻而得3～4分.失分点3:若在③处转化为关于离心率e的不等关系时范围出错,则本例最多得7分.失分点4:若在④处忽略椭圆离心率本身的范围,将作为题目的求解结果,则最多得10分.3e23【悟题】提措施,导方向1.注重条件的挖掘由椭圆的定义:若|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|),则点P的轨迹为椭圆,反过来,若点P在椭圆上,应首先考虑利