三角恒等变换练习及答案

1第3章三角恒等变换章末检测一、填空题1．(cosπ12－sinπ12)(cosπ12＋sinπ12)＝________.2.3tan15°＋13－tan15°的值是________．3．sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝________.4．函数y＝sin2x＋π3·cosx－π6＋cos2x＋π3·sinπ6－x的图象的对称轴方程是________．5．已知sin(α＋45°)＝55，则sin2α＝________.6．y＝sin2x－π3－sin2x的单调递增区间是__________________．7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝________.8．设a＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b＝2cos213°－1，c＝32，则a、b、c按从小到大的顺序排列为________．9．已知tan2θ＝－22，π2θ2π，则tanθ的值为________．10．已知sinα＝cos2α，α∈(π2，π)，则tanα＝______.11．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为______．12．若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝________.13．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.14．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为________．二、解答题15．已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0απ2，πβ3π2.求：tan(α＋β)及α＋β的值．16．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．17．已知函数f(x)＝tan(2x＋π4)．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f(α2)＝2cos2α，求α的大小．18．已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x.2(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈π4，π2上有解，求实数m的取值范围．19．已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．20．已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈3π2，2π，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cosα2＋π3的值．答案31.322.13.124.x＝kπ，k∈Z5．－356.kπ＋π12，kπ＋712π，k∈Z7．－358．cab9．－2210．－3311.2＋112.53913．114.2π315．解∵tanα、tanβ为方程6x2－5x＋1＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝56，tanαtanβ＝16，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝561－16＝1.∵0απ2，πβ3π2，∴πα＋β2π，∴α＋β＝5π4.16．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R.因为cosx∈[－1,1]，所以，当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；当cosx＝23时，f(x)取得最小值－73.17．解(1)由2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π8＋kπ2，k∈Z.所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠π8＋kπ2，k∈Z}，f(x)的最小正周期为π2.(2)由f(α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，α＋π4α＋π4＝2(cos2α－sin2α)，整理得sinα＋cosαcosα－sinα＝2(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)．因为α∈(0，π4)，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝12，即sin2α＝12.由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)，4所以2α＝π6，即α＝π12.18．解(1)f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x＝1－cosπ2＋2x－3cos2x＝1＋sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3＋1，最小正周期T＝π；令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解得f(x)的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)因为x∈π4，π2，所以2x－π3∈π6，2π3，sin2x－π3∈12，1，所以f(x)的值域为[2,3]．而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．19．解(1)tanα＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sinαcosα＝43.又因为sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝45.(2)因为0απ2βπ，所以0β－απ.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈π2，π，所以β＝3π4.20．解(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0.由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解之，得tanα＝－43或tanα＝12.5∵α∈3π2，2π，tanα0，∴tanα＝12(舍去)．∴tanα＝－43.(2)∵α∈3π2，2π，∴α2∈3π4，π.由tanα＝－43，得tanα2＝－12或tanα2＝2(舍去)．∴sinα2＝55，cosα2＝－255，cosα2＋π3＝cosα2cosπ3－sinα2·sinπ3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.