线性方程组直接解法迭代法-matlab实验

实验报告实验名称（教师填写）求解线性方程组实验目的（教师填写）掌握求解线性方程组的直接法与迭代法。实验题目（教师填写）完成以下两题：（1）用追赶法求Ax=b的解，其中2100224201,.0351300672Ab（2）用Jacobi方法求方程组Ax=b的解，要求()(1)31210,kkpxx（p=1或2或），其中1223111,2.2213Ab实验报告要求（教师填写）1.在实验内容与步骤中，填写基本的公式推导，之后根据推导出的公式编写程序，填入此栏。2.程序中应尽量写注释语言（中英文均可），例如：a=0;％对a附初值0fori=1:100%循环体从1到100，步长为1，开始循环a=a+I;％执行从1+2+…+100的加法过程end3.实验结果列出计算结果，或者作出图像。可以自由讨论所观察到的现象，如有疑问也可提出4.作业可已word文档发至[e-mail]，或者笔书后扫描成pdf文档发至上述邮箱。请在邮件标题上填好组长姓名、学号，在邮件正文中写组内所有成员的姓名、学号等，实验内容与步骤（学生填写）如果步骤较多，请自行加页（A4幅面）(1).用追赶法求Ax=b的解，其中2100224201,.0351300672Ab分析：Ax=b，其中A为三对角矩阵，A为严格对角占优矩阵，则Ax=b的解存在且唯一，所以对A进行LU分解，知L和U具有特殊形式，分别为L=1400013000120001lll，U=4000330002200011udududu，令A=4400333002220011bacbacbacb，a从a2开始为便于运算，为避免重复，使题目中的矩阵b为e，利用矩阵乘法及矩阵相等可得，),...,3,2(,/),...,2,1(1111nidlbuualbunicdiiiiiiiii，其中n=4，于是对Ax=e的求解转换为求解两个简单方程组yUxeLy，解Ly=e得),...,3,2(111niyleyeyiiii，解Ux=y得)1,...,2,1(/)(/1nniuxcyxuyxiiiiinnn程序：a=[0,2,3,6];%定义三个向量，将三条对角线上的值分别赋给这三个向量，注意，为便于循环，将第一条对角线（最下一条）上的值赋给a向量时从第二个元素开始赋值，即令a（1）为0b=[2,4,5,7];c=[1,2,1];e=[2,-1,3,2];%e向量为题设给出的常数向量，即题目中的bn=length(b);%取系数矩阵A主对角线元素个数fori=1:1:n-1%根据A=LU，求出矩阵L和U中的未知元素d(i)=c(i);endu(1)=b(1);fori=2:1:nl(i)=a(i)/u(i-1);u(i)=b(i)-l(i)*d(i-1);endy(1)=e(1);%根据Ly=e，Ux=y，求出向量x，即为方程的解fori=2:1:ny(i)=e(i)-l(i)*y(i-1);endx(n)=y(n)/u(n);fori=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-d(i)*x(i+1))/u(i);endluyx(2).用Jacobi方法求方程组Ax=b的解，要求()(1)31210,kkpxx（p=1或2或），其中1223111,2.2213Ab分析：根据Jacobi迭代法，将A分解为L,D,UA=000100220100010001022001000122111221(L+D+U)X=b；bDxULDX11)(；gBxxkk)(1；通过计算10)(B，此迭代收敛。我们选Tx)0,0,0()0(代入迭代式中，求得)1(x，计算31)0()1(1)0()1(ixxxx判断31021，若是输出)1(x，否则，)1(xx，重新代入迭代式求解，直至求出满足条件的解为止程序：A=[1-22;-11-1;-2-21];B=[02-2;101;220];g=[3;-2;-3];x=[0;0;0];k=0;%迭代次数变量while1X=B*x+g;%迭代公式E=0;fori=1:3E=E+abs(X(i)-x(i));%计算X与x的误差endx=X;%将X赋值给x达到可迭代的目的k=k+1;%迭代次数的计算if(E=0.0005)%满足误差条件跳出循环，否则继续执行上述步骤break;endendXk实验结果与实验结论(1)实验结果：实验结论分析：追赶法的巧妙之处就是利用矩阵A为三对角矩阵实现LU矩阵的追赶求解，对于一个n阶三对角矩阵A，LU直接分解法运算量3nO，而追赶法仅需5n-4次运算，可见追赶法在解三对角矩阵的优越性是LU直接分解法不可比拟的。（2）实验结果实验结果与实验结论（学生填写）实验结论分析：1.当迭代系数矩阵B的谱半径小于1，对于所有初始矩阵X都收敛。2.我们选初始矩阵X=[0;0;0],迭代次数k=4，但选初始矩阵X=[0;1;0]，迭代次数k=3；说明不同初始矩阵，收敛结果相同，收敛速度可能有所不同。3.注意：当迭代系数矩阵B的谱半不小于1，并不能说所有初始矩阵X都不收敛。姓名学号班级成绩教师姓名：时间：