2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第三章 3.2.2(二)基本初等函数的

3.2.2（二）3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)【学习要求】1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题.要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数[f(x)＋g(x)]′＝两个函数的差的导数[f(x)－g(x)]′＝两个函数的积的导数[f(x)·g(x)]′＝两个函数的商的导数[fxgx]′＝f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(g(x)≠0)填一填·知识要点、记下疑难点f′xgx－fxg′x[gx]2本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答案利用导数的运算法则.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？答案(1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及fxgx′＝f′xg′x的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）例1求下列函数的导数：(1)y＝3x－lgx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝x5＋x7＋x9x.解(1)函数y＝3x－lgx是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lgx的差.由导数公式表分别得出f′(x)＝3xln3，g′(x)＝1xln10，利用函数差的求导法则可得(3x－lgx)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln3－1xln10.(2)y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）∴y′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′＝3x2－2x＋1.(3)∵y＝x5＋x7＋x9x＝x2＋x3＋x4，∴y′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′＝2x＋3x2＋4x3.小结本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）跟踪训练1求下列函数的导数：(1)f(x)＝x·tanx；(2)f(x)＝2－2sin2x2；(3)f(x)＝x－1x＋1；(4)f(x)＝sinx1＋sinx.解(1)f′(x)＝(x·tanx)′＝xsinxcosx′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）(2)因为f(x)＝2－2sin2x2＝1＋cosx，所以f′(x)＝－sinx.(3)∵f(x)＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝1－2x＋1，∴f′(x)＝1－2x＋1′＝－2x＋1′＝－2′x＋1－2x＋1′x＋12＝2x＋12.(4)因为f(x)＝sinx1＋sinx，所以f′(x)＝cosx1＋sinx－sinx·cosx1＋sinx2＝cosx1＋sinx2.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）探究点二导数的应用例2(1)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________.解析y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.3x－y＋1＝0研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________.解析设P(x0，y0)(x00)，由题意知，0xxy＝3x20－10＝2，∴x20＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P点的坐标为(－2,15).(－2,15)研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）(3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t－1t2＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3s时物体的瞬时速度.解∵s(t)＝t－1t2＋2t2＝tt2－1t2＋2t2＝1t－1t2＋2t2，∴s′(t)＝－1t2＋2·1t3＋4t，∴s′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t＝3s时的瞬时速度为32327m/s.小结本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝y′|x＝x0＝f′(x0)；瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数，即v＝s′|t＝t0.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）跟踪训练2(1)曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()A.－12B.12C.－22D.22解析y′＝cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinxsinx＋cosx2＝1sinx＋cosx2，故4xy＝12，∴曲线在点Mπ4，0处的切线的斜率为12.研一研·问题探究、课堂更高效B本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）(2)设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值.解由题意得，f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知f′0＝0f0＝1，即02－a·0＋b＝013×03－a2×02＋b·0＋c＝1故b＝0，c＝1.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）1.设y＝－2exsinx，则y′等于()A.－2excosxB.－2exsinxC.2exsinxD.－2ex(sinx＋cosx)解析y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx).D练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）2.曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A.y＝2x＋1B.y＝2x－1C.y＝－2x－3D.y＝－2x＋2解析∵y′＝x′x＋2－xx＋2′x＋22＝2x＋22，∴k＝y′|x＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.A练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）3.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.193B.163C.133D.103解析∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝103.D练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）4.已知f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.解析f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.1练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值.解因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，解得a＝3，b＝－11，c＝9.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.2.2（二）求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.本讲栏目开关填一填研一研练一练