2016届高考数学大一轮复习 第二章 14导数与函数的单调性与极值课件 文

caobxyde温馨提示:请点击相关栏目。整知识·萃取知识精华整方法·启迪发散思维考向分层突破一考向分层突破二考向分层突破三1．函数的单调性与导数结束放映返回导航页2．函数的极值与导数结束放映返回导航页1．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)0(或f′(x)0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．2．求可导函数f(x)的极值的步骤考点•分类整合(1)求导函数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值，可列表完成．结束放映返回导航页考向分层突破一：利用导数研究函数的单调性由k≤0，知ex－kx0，令f′(x)＝0，则x＝2，当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为减函数，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．综上，f(x)的减区间为(0,2)，增区间为(2，＋∞)．例1：(2014•山东卷节选)设函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．当k≤0时，求函数f(x)的单调区间．x2e2-k(+lnx)xx解析：2x2xx43ex-2xe21(x-2)(e-kx)f'(x)=-k(-+)=,(x0)xxxx结束放映返回导航页跟踪训练已知函数f(x)＝，x∈(－1,0)∪(0，＋∞)．判断函数f(x)的单调性．当x∈(－1,0)时，g′(x)0，g(x)为增函数；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)为减函数．所以g(x)≤g(0)＝0，即f′(x)≤0，所以在x∈(－1,0)∪(0，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)上为减函数．2x-ln(x+1)xx+1f'(x)=,g(x)=-ln(x+1),x-1xx+1解：设'2211-xg(x)=-=x+1x+1x+1（）（）ln(x+1)x结束放映返回导航页1.用导数法求可导函数单调区间的一般步骤：2．用导数法证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)．(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号．(3)作出结论．f′(x)0时为增函数，f′(x)0时为减函数．结束放映返回导航页考向分层突破二：已知函数的单调性求参数的范围例2已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝(1)求a的值；(2)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．2'f()3解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝时，得a＝解之，得a＝－1.23222'2f()=3()+2a()-1333(2)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．结束放映返回导航页同类练1．已知函数f(x)＝x2＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围．解析：(1)F(x)＝f(x)＋2＝x2＋bsinx－2＋2＝x2＋bsinx，依题意，对任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.即x2＋bsinx－(－x)2－bsin(－x)＝0，即2bsinx＝0，所以b＝0，所以f(x)＝x2－2.结束放映返回导航页∵－(2x2＋2x)在(0,1)上单调递减，∴－2x2＋2x≥－4，∴a≤－4为所求．(2)∵g(x)＝x2－2＋2(x＋1)＋alnx，∴g(x)＝x2＋2x＋alnx，g′(x)＝2x＋2＋ax∵函数g(x)在(0,1)上单调递减，∴－2x2＋2x≥4，∴在区间(0,1)内，g′(x)＝2x＋2＋≤0恒成立，∴a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．2a2x+2x+a=xx结束放映返回导航页变式练2．已知函数f(x)＝－2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．解析：(1)若a＝1，则f(x)＝3x－2x2＋lnx的定义域为(0，＋∞)，当x∈(0,1)，f′(x)0时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递增．当x∈(1，＋∞)，f′(x)0时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．3xa,21-4x+3x+1-(4x+1)(x-1)f'(x)=-4x+3==(x0)xxx结束放映返回导航页若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，结束放映返回导航页拓展练3．已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．解析：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴01，得0a3.即a的取值范围为(0,3)．3a3由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)．3a3结束放映返回导航页拓展练4．(2014•太原模拟)设f(x)＝.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围．2(,+)33211-x+x+2ax32结束放映返回导航页已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．结束放映返回导航页考向分层突破三：利用导数研究函数的极值令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.例3：(2014•重庆卷)已知函数f(x)＝，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；（2)求函数f(x)的单调区间与极值．xa3+-lnx-4x2解析：(1)对f(x)求导得f′(x)＝，21a1--4xx由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.123454(2)由(1)知f(x)＝，则f′(x)＝.x53+-lnx-44x222x-4x-54x结束放映返回导航页考向分层突破三：利用导数研究函数的极值例3：(2014•重庆卷)已知函数f(x)＝，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；（2)求函数f(x)的单调区间与极值．xa3+-lnx-4x2解析：(1)对f(x)求导得f′(x)＝，21a1--4xx由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.123454(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当x∈(－2,1)时，f′(x)0，即f(x)在(－2,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.结束放映返回导航页变式练2．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解析：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x－2时，g′(x)0；当－2x1时，g′(x)0，故－2是g(x)的极值点．当－2x1或x1时，g′(x)0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.结束放映返回导航页拓展练3．已知函数f(x)＝ax2－ex(a∈R，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)解关于x的不等式：f(x)f′(x)；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．解析：(1)f′(x)＝2ax－ex，f(x)－f′(x)＝ax(x－2)0.当a＝0时，无解；当a0时，解集为{x|x0或x2}；当a0时，解集为{x|0x2}．(2)设g(x)＝f′(x)＝2ax－ex，则x1，x2是方程g(x)＝0的两个根．g′(x)＝2a－ex，当a≤0时，g′(x)0恒成立，g(x)单调递减，方程g(x)＝0不可能有两个根；当a0时，由g′(x)＝0，得x＝ln2a，当x∈(－∞，ln2a)时，g′(x)0，g(x)单调递增，当x∈(ln2a，＋∞)时，g′(x)0，g(x)单调递减．∴当g(x)max0时，方程g(x)＝0才有两个根，∴g(x)max＝g(ln2a)＝2aln2a－2a0，得a.∴a的取值范围为e2e(,+)2结束放映返回导航页运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点．归纳升华结束放映返回导航页