初一数学培优专题讲义

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。也可以写成：||0aaaaaa当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（A）A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2．已知：zx0，0xy，且xzy，那么yxzyzx的值（C）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y由题意得：yx3，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x0，y0，则4y=8，所以y=2,x=-6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x0，y0，则-4y=8，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x0，y0，则-2y=8，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即x0，y0，则2y=8，所以y=4,x=12例4．（整体的思想）方程xx20082008的解的个数是（D）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程aa的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．1111112220072007abababab0)()(yxzyzxyxzyzx1)1(xx201020081861641421分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2于是1111112220072007abababab200920082009112009120081413131212120092008143132121在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2，3与5，2与6，4与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x-1时，距离为-x-1,当-1x0时，距离为x+1，当x0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为1x（3）结合数轴求得23xx的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.分析：2x即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。)3(3xx即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：图1图2图3图2符合题意（4）满足341xx的x的取值范围为x-4或x-1分析：同理1x表示数轴上x与-1之间的距离，4x表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-4或x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，BA表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。四、小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。二、典型例题例1．若多项式xyxxxmx537852222的值与x无关，求mmmm45222的值.分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零因为83825378522222yxmxyxxxmx所以m=42008200712007200720072222323aaaaaaa20082007120072007220072)1(200722007222222223aaaaaaaaaaaaa将m=4代人，44161644452222mmmmmm利用“整体思想”求代数式的值例2．x=-2时，代数式635cxbxax的值为8，求当x=2时，代数式635cxbxax的值。分析：因为8635cxbxax当x=-2时，8622235cba得到8622235cba，所以146822235cba当x=2时，635cxbxax=206)14(622235cba例3．当代数式532xx的值为7时,求代数式2932xx的值.分析：观察两个代数式的系数由7532xx得232xx，利用方程同解原理，得6932xx整体代人，42932xx代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例4．已知012aa，求2007223aa的值.分析：解法一（整体代人）：由012aa得023aaa所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由012aa，得aa12，所以：解法三（降次、消元）：12aa（消元、、减项）20082007120072007)(20072007222222323aaaaaaaaaaa例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050第二年：A公司10200；B公司5100+5150=10250第n年：A公司10000+200(n-1）；B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且bcbcacacababccbbaax，则123cxbxax的值是_______。解：因为abc0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数又因为a+b+c0，所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设a0，b0，c0则ab0，ac0，bc0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。同理，当b0，c0时，x=0。另：观察代数式bcbcacacababccbbaa，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。规律探索问题：例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线____上，“2008”在射线___________上．（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为__________________________．ABDCEFO172839410511612分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，…观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，归纳得到，这列数可以表示为6n-5因为17=3×6-1，所以17在射线OE上。因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD上例8．将正奇数按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725根据上面规律，2007应在A．125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数：3，11，19，27，规律为8n-5因为2007=250×8+7=251×8-1所以，2007应该出现在第一列或第五列又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，所以2007应该在第251行第5列例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为kn2（其中k是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为kn2（其中k是使kn2为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169，169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1，1是奇