高三复习专题：函数的概念与表示

高三复习专题：函数的概念与表示(作者：题海降龙）一、要点提示：1．函数：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称f：BA为从A到B的一个函数，记为)(xfy2．函数的表示方法(1)解析法；(2)图象法；(3)列表法3．注意点:(1)函数的定义域必须写成集合（或区间）的形式，且不可能是空集(2)求函数的解析式常用的方法有换元法、方程法及利用函数的性质、图象等(3)函数的解析式要特别注意定义域，始终坚持“定义域优先”的原则.二、例题精析例1．(1)求满足下列条件的函数的解析式.①xxf)1(；②xxfxf)1(2)(；③(2)已知12)(xxfx，1)(2xxxg)0()0(xx，求)]([xfg解：(1)①2)1()(xxf)1(x；②332)(xxxf)0(x；③522)(xxf(2)由题，0)0(f，且)(xf在R上递增，故当0x时，0)(xf∴1)()]([)]([2xfxfxfg)0()0(xx，即22)12()]([2xxxfgxx)0()0(xx例2．设)(xf是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1,1]上，121)(xbxaxxf)10()01(xx其中Rba,，若)23()21(ff，求ba3的值解：)21()223()23(fff，∴)21()21(ff，∴12134ab，得：)1(32ba，又)1()1(ff，得221ba，即ab2，从而得2a，4b∴103ba例3．已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，且满足条件：)()2(xfxf，当11x时，3)(xxf(1)求当1[x，5]时，试求)(xf的解析式；(2)若A＝}|)(||{axfx，且A，求实数a的取值范围.解：方法一：图象方法二：设]5,3[x，则]1,1[4x，∴3)4()4(xxf∵)()2(xfxf，)()4(xfxf则3)2()4()(xxfxf设]3,1(x，则]5,3(2x∴3)2()2(xxf，即3)2()(xxf则)53()4()31()2()(33xxxxxf(2)由题axf|)(|有解，则a|)(|xf的最大值∵)(xf在[1，3]上递减，在[3，5]上递增，1|)(|xf，∴1a例4．对于函数()fx,若存在实数对(ba,),使得等式bxafxaf)()(对定义域中的每一个x都成立,则称函数()fx是“(ba,)型函数”.(1)判断函数()4xfx是否为“(ba,)型函数”，并说明理由；(2)已知函数()gx是“(1,4)型函数”,当[0,2]x时,都有1()3gx成立,且当[0,1]x时,2()gxx(1)1mx(0)m,若,试求m的取值范围.解：(1)由bxafxaf)()(,得16ab,所以存在这样的实数对,如1,16ab，函数()4xfx是“(ba,)型函数”(2)由题意得,(1)(1)4gxgx,所以当[1,2]x时,4()(2)gxgx,其中2[0,1]x,而[0,1]x时,22()(1)110gxxmxxmxm,且其对称轴方程为2mx,当12m,即2m时,()gx在[0,1]上的值域为[(1),(0)]gg,即[2,1]m,则()gx在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11mmmm,由题意得13411mm,此时无解当1122m,即12m时,()gx的值域为[(),(0)]2mgg,即2[1,1]4mmm,所以则()gx在[0,2]上的值域为2244[1,1][,]4114mmmmmm,则由题意得2431413mmm且2114411mmm,解得12m当1022m,即01m时,()gx的值域为[(),(1)]2mgg,即2[1,2]4mm,则()gx在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414mmmm=224[1,]414mmmm,则221144314mmmm,解得26213m.综上所述,所求m的取值范围是26223m三、精选习题1.设函数21)(22xxxxf11xx，则))2(1(ff的值为（A）(A)1516(B)2716(C)89(D)182.已知)(xf在R上是奇函数，且)()4(xfxf，当(0，2)时，22)(xxf，则)7(f(A)(A)2(B)2(C)98(D)983．函数)2(xf的定义域是[1，1]，则函数)(log2xfy的定义域为(C)(A)[1，1](B)[21，2](C)[2，4](D)[1，4]4．设xxxf22lg)(，则)2()2(xfxf的定义域为（B）(A)(4，0()0，4)(B)(4，1()1，4)(C)(2，1()1，2)(D)(4，2()2，4)5．定义在R上的函数)(xf满足)2()1()1(log)(2xfxfxxf00xx，则)2009(f的值为(C)(A)1(B)0(C)1(D)2提示：,0)6(,1)5(,1)4(,0)3(,1)2(,1)1(ffffff，周期为66.已知函数2244)(xxxxxf00xx若)()2(2afaf，则实数的取值范围是(C)(A)(B)(C)(D)提示：函数)(xf是R上的增函数7.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为(B)(A)(B)(C)(D)不能确定2提示：abacxx44||2128．已知函数621|lg|)(xxxf10100xx，若cba,,互不相等，且)()()(cfbfaf，则abc的取值范围是(C)A．(1，10)B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)提示：)12,10(1lglg)()(cabcabbabfaf9.若函数则不等式的解集为[－3，1]a(,1)(2,)(1,2)(2,1)(,2)(1,)2()(0)fxaxbxcaD(,())(,)sftstDa2481,0()1(),03xxxfxx1|()|3fx10．已知函数,2))((.0,cos2,0,)(02xffxxxxxf若则x0=43.11．已知集合M={x，y，z}，N={1，0，}1，则M到N的映射f满足)()()(zfyfxf，这样的映射有7个12．已知函数的定义域是，求函数的定义域是[－2，2]13．已知34)(2xxxf，Rx，函数)(tg表示)(xf在[t，]2t上的最大值，求)(tg的表达式.解：34)(158)2()(22tttftttftg)3()3(tt14．设函数)(xf是定义在R上以2为周期的函数，且是偶函数，在区间[2，3]上，2)3(24)(xxf，求]2,1[x时，)(xf的表达式；解：方法一：利用图象方法二：设]2,1[x，则]3,2[4x（因为周期是2，所以加（减）2的整数倍）∴2)1(24)4(xxf而)()()4(xfxfxf∴]2,1[x时，)(xf＝2)1(24x15．已知函数)(xf是定义在[1，1]上的偶函数，且函数)(xg与)(xf的图象关于直线01x对称，且当2[x，3]时，3)2(4)2(2)(xxaxg，求)(xf的表达式.解：方法一：图象方法二：∵函数)(xg与)(xf的图象关于直线01x对称，∴)2()(xgxf设1[x，0]，则x2[2，3]，则3)(4)(2)2()(xxaxgxf342xax设]1,0(x，则)0,1[x则3342)(4)(2)(xaxxxaxf又∵)(xf是偶函数，故342)(xaxxf∴334242)(xaxxaxxf]0,1[(])1,0((xx