二阶常系数非齐次线性微分方程

)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程,0qyypy通解结构,yYy常见类型),(xPm,)(xmexP,cos)(xexPxm,sin)(xexPxm难点：如何求特解？方法：待定系数法.自由项为二阶常系数非齐次线性微分方程一、型)()(xPexfmx设非齐方程特解为xexQy)(代入原方程)()()()()2()().(2xPxQqpxQpxQm不是特征方程的根，若)1(,02qp),()(xQxQm可设;)(xmexQy是特征方程的单根，若)2(,02qp,02p),()(xxQxQm可设;)(xmexxQy是特征方程的重根，若)3(,02qp,02p),()(2xQxxQm可设.)(2xmexQxy综上讨论,)(xQexymxk设是重根是单根不是根2,10k注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.特别地xAeqyypy是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根xxxexAxepAeqpAy222,2,例1.232的通解求方程xxeyyy解特征方程,0232rr特征根，，2121rr对应齐次方程通解,221xxececY是单根，2,)(2xeBAxxy设代入方程,得xABAx22,121BAxexxy2)121(于是原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy求通解xxeyyy3596解特征方程0962rr特征根321rr齐通解xexccY321)(是重根3xeBAxxy32)(可设即23)(BxAxxQBxAxxQ23)(2BAxxQ26)(代入（*）式xBAx5260,65BAxexy3365非齐通解为xexxccy3321)65(例2型二、xexPxfxmcos)()(型型及其组合xexPxfxmsin)()(xexPxfxmcos)()(xexPxfxmsin)()(分别是xjmexP)()(的实部和虚部,)()(xjmexPqyypy考虑方程可设xjmkexQxy)()(次复系数多项式是mxQm)()()()(21xjQxQxQm记次实系数多项式均是mxQxQ)(),(21辅助方程)sin(cos)]()([21xjxexjQxQxyxk)]cos)(sin)(()sin)(cos)([(2121xxQxxQjxxQxxQexxk是特征方程的单根不是特征方程的根jjk,1,0由分解定理]sin)(cos)([Re21xxQxxQexyxk]cos)(sin)([Im21xxQxxQexyxk分别是以xexPxfxmcos)()(xexPxfxmsin)()(为自由项的非齐次线性微分方程的特解注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程例3.sin4的通解求方程xyy解对应齐方通解,sincos21xCxCY作辅助方程,4jxeyy,是单根j,*jxAxey故代入上式,42Aj,2jA,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx所求非齐方程特解为,cos2xxy（取虚部）原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy这种方法称为复数法例4.2cos的通解求方程xxyy解对应齐方通解,sincos21xCxCY作辅助方程,2jxxeyy,2不是特征方程的根j,)(2*jxeBAxy设代入辅助方程13034ABAj,9431jBA，,)9431(2*jxejxy)2sin2)(cos9431(xjxjx,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy（取实部）原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy注意xAexAexxsin,cos.)(的实部和虚部分别是xjAe例5.tan的通解求方程xyy解对应齐方程通解,sincos21xCxCY用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy设,1)(xw,cos)(tanseclnsin)(2211CxxcCxxxxc原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy例6求通解xeyyxcos解相应齐方程0yy特征方程jrr2,1201齐通解xcxcYsincos21先求xeyy的特解设xAey*1代入方程21Axey21*1再求xyycos的特解考虑辅助方程jxeyy是单根j可设jxAxeyjxjxAjxeAeyjxjxAxeAjey2代入方程得jA21xxjxxxejyjxcos21sin2121取实部得xxysin21*2原方程的特解)sin(21*2*1*xxeyyyx所求通解为)sin(21sincos21xxexcxcyx例7设)(22yxfu具有连续的二阶偏导数且满足2222221yxuxuxyuxu求u的表达式解记22yxr则)(rfurxdrduxudrduxudrdurydrudrxxu3222222)(同理drdurxdrudryyu3222222)(udruduxuxyuxu22222212222yxudrud这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程解得2sincos221rrcrcu222221sincosyxcyxcu222rudrud即一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子8米，另一端离钉子12米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间下段重为解设时刻t链条下落了x米另设链条单位长重为)(mkgw则上段重为)12(xw)8(xw由Newton第二定律2220)]8()12([dtxdwgxwxw例80,000ttdtdxx特征方程0102gr特征根102,1gr齐通解tgtgececX102101特解2*x故2)(102101tgtgecectx代入初始条件解得121cc2)(1010tgtgeetx时当8x)(3.2)625ln(10sgt三、小结(待定系数法)可以是复数）(),()()1(xPexfmx);(xQexymxk],sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx];sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexymmxk只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.思考题写出微分方程xexyyy228644的待定特解的形式.思考题解答设的特解为2644xyyy*1yxeyyy2844设的特解为*2y*2y*1*yy则所求特解为0442rr特征根22,1rCBxAxy2*1xeDxy22*2（重根）*2y*1*yyCBxAx2.22xeDx练习题一、求下列微分方程的通解:1、xeyay2；2、xxeyyy323；3、xxyycos4；4、xyy2sin.二、求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:1、0,1,5400xxyyyy；2、xxexeyyy2,1,111xxyy；3、)2cos(214xxyy,0,000xxyy.三、含源在CLR,,串联电路中,电动E势为的电源对电充电容器C.已20E知伏,微法2.0C,亨1.0L,欧1000R,试求合上开后关K的电及流)(ti)(tuc电压.四、设)(x函数连续,且满足xxxdttxdtttex00)()()(,)(x求.练习题答案一、1、2211sincosaeaxCaxCyx；2、)323(2221xxeeCeCyxxx；3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21；4、212cos10121xeCeCyxx.二、1、xeyx45)511(1614；2、xxxexexexeey26])121(612[23；3、)2sin1(812sin161xxxy.三、)105sin(104)(310523tetit(安),]105sin()105[cos(2020)(331053ttetutc(伏).四、)sin(cos21)(xexxx.