矩阵证明题

矩阵证明题简单应用题能力：1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB=BA．2．试证：设A是n阶矩阵，若3A=0，则21)(AAIAI．3．已知矩阵)(21IBA，且AA2，试证B是可逆矩阵，并求1B.4.设n阶矩阵A满足AI2，TAAI，证明A是对称矩阵.5．设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．6．设Ak=0,其中A为方阵,k为大于1的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1.7．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证：A-1B=BA-1。8．设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵9．设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA10．n阶方阵A满足A2-3A-2E=0，其中A给定，证明A可逆.11．设A、B均为n阶方阵，且A2=A,B2=B，证明(A+B)2=A+B的充分必要条件是AB=BA=0.12．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证：A-1B=BA-1。13．设A是n阶方阵，且（A+E）2=0，证明A可逆.14．设矩阵A可逆，证明（A*）-1=|A-1|A.参考答案1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB=BA．1．证因为AT=A，BT=B，(AB)T=AB——得3分所以AB=(AB)T=BTAT=BA——得5分2．试证：设A是n阶矩阵，若3A=0，则21)(AAIAI．2．证因为))((2AAIAI——得2分=322AAAAAI=3AI=I所以21)(AAIAI——得5分3．已知矩阵)(21IBA，且AA2，试证B是可逆矩阵，并求1B.3.证因为)2(41)(41222IBBIBA，且AA2，即)(21)2(412IBIBB，——得3分得IB2，所以B是可逆矩阵，且BB1.——得5分4.设n阶矩阵A满足AI2，TAAI，证明A是对称矩阵.4.证因为AIA=TTIAAAA=TA——得4分所以A是对称矩阵.——得5分5．设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．5．证因为BBAATT，，且TTT)()()(BAABBAAB——得2分TTTTBAABABBABAAB——得5分所以AB＋BA是对称矩阵．6．设Ak=0,其中A为方阵,k为大于1的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1.6．证：因为AkO所以EAkE——得2分又因为EAk(EA)(EAA2Ak1)即(EA)(EAA2Ak1)E所以(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1——得5分7．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证：A-1B=BA-1。7．证：因为A为非退化矩阵,并且AB=BA，所以两边右乘1A得：BABA1，——得3分再两边左乘1A得：BABA11——得5分8．设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵8．证：因为ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB——得4分从而BTAB是对称矩阵——得5分9．设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA9．证：充分性因为ATABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是对称矩阵——得3分必要性因为ATABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA——得5分10．n阶方阵A满足A2-3A-2E=0，其中A给定，证明A可逆10．证：由A2-3A-2E=0可得：A(A-3E)=2E，——得3分即EEAA2)3(所以A可逆，且2)3(1EAA——得5分11．设A、B均为n阶方阵，且A2=A,B2=B，证明(A+B)2=A+B的充分必要条件是AB=BA=0.12．若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证：A-1B=BA-1。13．设A是n阶方阵，且（A+E）2=0，证明A可逆.14．设矩阵A可逆，证明（A*）-1=|A-1|A..综合应用题能力：1．设n阶方阵TEA,其中0是n维列向量,证明：（1）AA2的充要条件为1T；（2）当1T时，矩阵A不可逆。2．设n阶方阵A满足022EAA，证明：(1)矩阵A可逆；(2)矩阵EA2与EA不同时可逆。3．如果)(21EBA，证明A2=A的充要条件是B2=E。4．设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A1)*5．设矩阵A、B及AB都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵6．若方阵A满足OEAA422，证明EA可逆，并求出EA的逆矩阵.参考答案1．设n阶方阵TEA,其中0是n维列向量,证明：（1）AA2的充要条件为1T；（2）当1T时，矩阵A不可逆。1．证：（1）TTTTEA)(2，——得2分故AA2的充要条件为1T；——得4分（2）由（1）得AA2，若A可逆，AAAA121)(，则EA，矛盾。——得8分2．设n阶方阵A满足022EAA，证明：(1)矩阵A可逆；(2)矩阵EA2与EA不同时可逆。2．证：（1）EEAA2)(，)(211EAA；——得4分（2）0|||2||2|2EAEAEAA，|2|EA与||EA至少有一个为零。——得8分3．如果)(21EBA，证明A2=A的充要条件是B2=E。3．证：（必要性）)(21,2EBAAA，42)(41)(2122EBBEBEB，化简即得：B2=E。——得4分（充分性）)(21,2EBAEBAEBEBBEBA42242)(41222——得8分4．设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A1)*4．证：由A可逆可知：0||||,0||1||,0||1*1nAAAAA，即*1,AA也可逆。——得4分EAAAAAEAAAAA||)()(,||11*1*11**||/||)(|,|/)(1*11*AAEAAAAAA所以*11*)()(AA——得8分5．设矩阵A、B及AB都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵5．证：因为A1(AB)B1B1A1A1B1——得2分而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆——得6分(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A——得8分6．若方阵A满足OEAA422，证明EA可逆，并求出EA的逆矩阵.6．证：由OEAA422可得EEAAA332，——得2分即EEAEA)3)((——得6分所以EA可逆，且)3()(1EAEA——得8分发展应用题能力：1．设A为nm矩阵，证明：存在sn非零矩阵B，使OAB的充分必要条件为秩nAr)(。2．试证明：)()(BrArBOOAr3．设A为n阶满秩方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A|n－2A.4．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明(1)若|A|0则|A*|0(2)|A*||A|n15．设A为mn矩阵，B为n阶矩阵，且r(A)=n，试证：（1）若AB=O，则B=O；（2）若AB=A则B=E。6．设A、B为mn矩阵，则r(A+B)r(A)+r(B)。7．如果A是1)(,1)(),2(ArnArnn试证且阶矩阵参考答案1．设A为nm矩阵，证明：存在sn非零矩阵B，使OAB的充分必要条件为秩nAr)(。1．证：充分性：nAr)(，0Ax存在一个基础解系)(;21,Arnssjj其中，，，令），，，（sB21，易知B就是sn非零矩阵。——得5分必要性：设），，，（sB21，因B是sn非零矩阵，故至少有一个j是非零向量。OAB，则sjj，，21,都是线性方程组0Ax的解。0Ax有非零解，即nAr)(。——得10分2．试证明：)()(BrArBOOAr2．证：设A的列向量组为n,...,,21，其极大无关组为isii,...,,21，即sAr)(设B的列向量组为m,...,,21，其极大无关组为jtjj,...,,21，即tBr)(将isii,...,,21扩充为OA的列向量isii,...,,21，则isii,...,,21也是OA的极大无关组；将jtjj,...,,21扩充为BO的列向量jtjj,...,,21，则jtjj,...,,21也是BO的极大无关组；易知isii,...,,21jtjj,...,,21线性无关。——得4分设BOOA列向量组的极大无关组为r,...,,21，即rBOOAr则任意k必可由向量组isii,...,,21jtjj,...,,21线性表示，而任意的i、j都是BOOA的列向量，均可由r,...,,21线性表示；故向量组isii,...,,21jtjj,...,,21与向量组r,...,,21等价。——得8分所以r=s+t，即)()(BrArBOOAr。——得10分3．设A为n阶满秩方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A|n－2A.3．证：EAAAEAAAAA||))((,||******——得4分两边左乘A得EAAAAA||))((****，即AAAEA||)(||***——得8分又因为A为n阶满秩方阵(n≥2)，即0||A，1*||||nAA。所以(A*)*=|A|n－2A.——得10分4．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明(1)若|A|0则|A*|0(2)|A*||A|n14．证：(1)用反证法证明假设|A*|0则有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0——得5分(2)由于*||11AAA则AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0则|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立因此|A*||A|n1——得10分5．设A为mn矩阵，B为n阶矩阵，且r(A)=n，试证：（1）若AB=O，则B=O；（2）若AB=A则B=E。5．证：（1）设B的列向量组为：n,...,,21，显然任意j都是齐次线性方程组AX=0的解向量。因为r(Amn)=n，所以AX=0只有零解，即所有0j。故B=O。——得5分（2）若AB=A则AB-A=O，A(B-E)=O由（1）的结论可知(B-E)=O，即B=E。——得10分6．设A、B为mn矩阵，则r(A+B)r(A)+r(B)。6．证：设A的列向量组为n,...,,21，其极大无关组为isii,...,,21，即sAr)(设B的列向量组为n,...,,21，其极大无关组为jtjj,...,,21，即tBr)(——得2分设A+B列向量组为nn,...,,2211，其任意一个向量kk可由向量组isii,...,,21jtjj,...,,21线性表示，即向量组nn,...,,2211可由向量组