两个重要极限公式

2020/4/301第六节极限存在准则两个重要极限第一章（Existencecriteriaforlimits&Twoimportantlimits）二、两个重要极限一、极限存在的两个准则三、内容小结2020/4/3021.单调有界准则数列:nx,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少准则I单调有界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限单调下降有下界数列必有极限说明:(1)在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛．(2)利用准则Ⅰ来判定数列收敛必须同时满足数列单调和有界这两个条件．2020/4/303(3)准则Ⅰ只能判定数列极限的存在性，而未给出求极限的方法．(1)nnxnxn例如，数列，虽然有界但不单调；，虽然是单调的，但其无界，易知，这两数列均发散．数列(4)对于准则I，函数极限根据自变量的不同变化过程0(,xx0,xx,x,x)x也有类似的准则，只是准则形式上略有不同.例如，准则I′设函数()fx0x()fx0x0()fx在点的某个左邻域内单调在的左极限必存在．并且有界，则2020/4/304作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：1lim1?nnn11nnxn11nnxn1111111111nnnnn首先，证是单调的．＝1111111111nnnnn11111211nnnnnnn11111nnxn＝11nnxn所以，数列是单调增加的．2020/4/30511nnxn12nxx11nnyn111nnzn111nnzn111111111111nnnnnnynnnnynz显然，单调性的证明可证得数列是单调增加的．设数列由于数列是单调增加的，所以数列是单调减少的.又11nnxn其次，证有界．类似于，则1111114nnnnxzznn24nx则.综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是收敛的.2020/4/306e1lim1ennn通常用字母来表示这个极限，即xy11xxe1lim1exxx也可以证明，当取实数而趋于或时，函数的极限都存在且都等于，即10())lim1()exxx（(e2.71828)利用变量代换，可得更一般的形式2020/4/307例121lim1.xxx求解:21lim1xxx(2)1lim1xxx原式2e.例2求131300lim1lim133xxxxxx解:131300lim1lim133xxxxxx1330lim13xxx13e2020/4/3082.夹逼准则准则IIazynnnnlimlim)2(),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),,0,1N当时,当2Nn时,azn令,,max21NNN则当Nn时,有由条件(1)nnnzxyaa即,axn故.limaxnn,2N2020/4/309我们可将准则II推广到函数的情形：准则II′,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0(0)xX()x()x()x且注意:准则II和准则II′统称为夹逼准则..,的极限是容易求的与并且与关键是构造出利用夹逼准则求极限nynznynz2020/4/3010例3222111lim().12nnnnn求解：,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼准则得.1)12111(lim222nnnnn2020/4/3011解:利用夹逼准则.nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由思考题：？1211lim222nnnnnn2020/4/3012夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法．下面利用它证明另一个重要的1sincosxxx圆扇形AOB的面积0sinlim1xxx证:当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2x,1coslim0xx1sinlim0xxx显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有注极限公式：2020/4/3014例4求解:xxxtanlim0xxxxcos1sinlim0xxxsinlim0xxcos1lim01例5求解:令,arcsinxt则,sintx因此原式tttsinlim0ttsin1注:利用变量代换，可得更一般的形式()0sinli)m)1((xxx2020/4/3015例6求解:0sin3limsin5xxx03sin35lim53sin5xxxxx003sin35limlim53sin5xxxxxx35例7求201coslim.xxx解:2202sin2limxxx原式220sin12lim22xxx20sin12lim22xxx2112122020/4/3016内容小结1.极限存在的两个准则夹逼准则;单调有界准则.2.两个重要极限或注:代表相同的表达式2020/4/3017思考与练习1.填空题(1～4);_____sinlim.1xxx;____1sinlim.2xxx;____1sinlim.30xxx14.lim(1)____.nnn0101e2020/4/3018解：原式=2.求510lim5xxxx10lim15xxx05510110lim15xxx5101051010lim1155xxxx0510110lim15xxx510lim15xx10e2020/4/30193.证明证明：xR1xxx0x1111.xxx对任一，有，则当时，有于是,（1）当0x时，111(1),xxxxxx01lim1xxx0x111(1),xxxxxx01lim1.xxx由夹逼准则得（2）当时，同样有2020/4/3020故极限存在，4.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1∴数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx2020/4/30证:易见,1nnxx证明下述数列有极限.即单调增,又1(1))1()1(11kaa故存在。“拆项相消”法5.设.limnnx