等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。一、定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：1()nnnaada常数是等差数列2222()nnnaada常数是等差数列3333()nnnaada常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：1(2)nnnaaadn是等差数列11(2)nnnnnanaaaa是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1(00)nnnaqqaa1且为常数，a为等比数列04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nnaqa（n2，q为常数且≠0）na为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1nnaad和1nnaad有差别，前者必须加上“2n≥”，否则1n时0a无意义，等比中一样有：2n≥时，有1nnaqa（常数0）；②nN时，有1nnaqa（常数0）．例1.设数列12,,,,naaa中的每一项都不为0。证明：na为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有1223111111nnnnaaaaaaaa。证明：先证必要性设{}na为等差数列，公差为d，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111nnnnaadaa再证充分性：∵122334111aaaaaa1111nnnnaaaa………①∴122334111aaaaaa11212111nnnnnnaaaaaa………②②﹣①得：12121111nnnnnnaaaaaa两边同以11nnaaa得：112(1)nnanana………③同理：11(1)nnanana………④③—④得：122()nnnnanaa即：211nnnnaaaana为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为nS，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanSnn。证：）若}{na为等差数列，则23121nnnaaaaaa……，故)(.......)()(21221aaaaaaSnnnn2)(1nnaanS（）当n≥2时，由题设，2)(,2))(1(1111nnnnaanSaanS所以2))(1(2)(11211nnnnaanaanSSa同理有2)(2))(1(1111nnnaanaana从而2))(1()(2))(1(111111nnnnnaanaanaanaa整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.例3.已知数列na是等比数列（1q），nS是其前n项的和，则232kkkkkSSSSS，，，…，仍成等比数列。证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，2311123111,,111kkkkkkaqaqaqSSSqqq21121111kkkkaqaqSSqq111kkaqqq3211321111kkkkaqaqSSqq2111kkaqqq22221221(1)kkkkaqqSSq2113211()11kkkkkkaqaqqSSSqq222121(1)kkaqqq∴22kkSS=32()kkkSSS∴232kkkkkSSSSS，，成等比数列.证明二：2kS－kS=1232()kaaaa－123()kaaaa=1232kkkkaaaa=123()kkqaaaa=kkqS0同理，3kS－2kS=2122233kkkkaaaa=2kkqS0∴232kkkkkSSSSS，，成等比数列。练习：二、中项法(1).(充要条件)若122nnnnaaaa是等差数列(注：三个数cba,,为等差数列的充要条件是:cab2)(充分条件)211nnnaaa(2n){}na是等差数列，（2）.(充要条件)若221(0)nnnnaaaa{}na是等比数列(充分条件)112nnnaaa（n≥1）{}na是等比数列，注:(0)bacac且是a、b、c等比数列的充分不必要条件bac是a、b、c等比数列的必要不充分条件.(0)bacac且是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n项和法1.通项公式法（1）.若数列通项na能表示成naanb（ab，为常数）的形式，则数列na是等差数列。(充要条件)(2).若通项na能表示成nnacq(cq，均为不为0的常数，nN)的形式，则数列na是等比数列．(充要条件)2.前n项和法(1).若数列na的前n项和Sn能表示成2nSanbn(a，b为常数)的形式，则数列na是等差数列；(充要条件)(2).若Sn能表示成nnSAqA(Aq，均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列na是公比不为1的等比数列．(充要条件)四、归纳—猜想---数学归纳证明法先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“nk时命题成立”到“1nk时命题成立”要会过渡．五、反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．六、等差数列与等比数列的一些常规结论若数列{}na是公比为q的等比数列（1）数列{}na{}na（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；（2）若{}nb是公比为q的等比数列，则数列{}nnab是公比为qq的等比数列；（3）数列1na是公比为1q的等比数列；（4）{}na是公比为q的等比数列；（5）在数列{}na中，每隔()kkN项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为1kq；（6）若()mnpmnpN，，，，成等差数列时，mnpaaa，，成等比数列；（7）232nnnnnSSSSS，，均不为零时，则232nnnnnSSSSS，，成等比数列；（8）若{log}bna是一个等差数列，则正项数列{}na是一个等比数列．若数列{}na是公差为d等差数列，则（1）{}nkab成等差数列，公差为kd（其中0kkb，，是实常数）；（2）(1){}nkknSS，（kkN，为常数），仍成等差数列，其公差为2kd；（3）若{}{}nnab，都是等差数列，公差分别为12dd，，则{}nnab是等差数列，公差为12dd；（4）当数列{}na是各项均为正数的等比数列时，数列{lg}na是公差为lgq的等差数列；（5）()mnpmnpN，，，，成等差数列时，mnpaaa，，成等差数列．作业