积分变换与场论复习重点

第一章傅立叶变换积分变换若函数在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1)连续或只有有限个第一类间断点,(2)至多有有限个极值点）,并且在上绝对可积则有：一.Fourier积分定理()ft,1()2iitfeded()(0)(0)2fttftftt为连续点为间断点二.Fourier变换的定义式()[()]()itFftftedtF1()Fourie1[()]()2r的逆变换:，itFFedFF()Fourierft的变换:()()Fourier()()ftFftF：一一对应，称为一组变换对。称为原像函数，称为像函数。记住下面的傅里叶变换对,0000()112()1()()1()e2()()etitittutiuteittℱ000sin()()=tiℱ000cos()()t=（1）对任意的无穷次可微函数()ft,都有()()=0tftdtf00()()ttftdtft（2）函数为偶函数,即()t()()tt函数的性质三.1）.线性性质:2）.位移性质:四Fourier变换的性质1212()()()()ftftFFF11212()()()()FFftftF若=()F(),ftF0t为实常数,则00()()itftteFF（1）象原函数的位移性质（2）象函数的位移性质若=()F(),ftF0为实常数,则00()()iteftFF010()()itFfteF设，则对于实常数有0[()](),ftFF推论0001[cos()][()()],2tftFFF000[sin()][()()].2itftFFF3）.微分性质：[()]()ftiFF[()]()lim()0,tftFftF若，且则（1）象原函数的微分性质:()()lim()00,1,2,,1,()()ktnnftknftiFF一般地，若则4）.积分性质：()()()[()]nnnFitftF()[()]FitftF（2）象函数的微分性质:[()]()tftiFF或()[()]()nnntftiFF或一般地[()]()ftFF设，lim()0,ttftdt若则1[()]().tftdtFiF五.卷积的概念1.定义：,定义在若函数1(),ft2()ft函数1(),ft2()ft的卷积,1()ft2()ft12()()fftd上,2.卷积定理：=2()F2()ftF=1()F1()ftF(1)若则11212()()()()FFftftF1212()()()()ftftFFF=2()F2()ftF=1()F1()ftF(2)则12121()()()()2ftftFFF若象原函数(方程的解)象函数微分积分方程象函数的代数方程取Fourier逆变换取Fourier变换解代数方程六、微分、积分方程的Fourier变换解法第二章拉普拉斯变换0()()stFsftedt一.定义式ℒ()ft二.拉普拉斯变换存在定理的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数若函数()ft满足下列条件Ⅰ在0t的任一有限区间上连续或分段连续,Ⅱ当t时,()ft0,M及0C,使得0ctftMet成立,则函数的拉氏变换()ft0()()stFsftedt在半平面上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内为解析函数ResCFs1t1uts三.一些常用函数的拉普拉斯变换1ktesk1!nnnts22sinkktsk22cossktsk的函数，即上的周期为是设Ttf),0[)(()()(0)ftTftt则)0)(Re()(11)]([0sdtetfetfTstsT四.周期函数的Laplace变换1212()()()()ftftFsFs1线性性质,设为常数则ℒ11212()()()()FsFsftft1()Fs1()ftℒ2()Fs2()ftℒℒ四.拉普拉斯变换的性质2.微分性质（1）象原函数的微分性质.)Re(cs推论特别地，（2）象函数的微分性质则()[()]Fstft_L11()()[()()]nnnFstft_L[()]()dtftFsdsL1()[()]()()nnntftFsL一般地经常反过来使用：1111()[()]()()[()]nnnFsftFst__LL一般地3.积分性质象函数积分性质或一般地特别地，在*式中令s=0，则.)()(00dssFtdttf(*)4.位移性质5.延迟性质0[()](),,ftFsa若则L1[()]().sfatFaaL6.相似性质（补充）求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.102istiftFsedsti五.拉普拉斯逆变换拉氏反演积分1()ft2()ft120()()tfftd六.拉氏变换的卷积与卷积定理(2)拉氏变换的卷积定理若则ℒ11212()()()()FsFsftft1212()()()()ftftFsFsℒ1(),Fsℒ1()ft2(),Fsℒ2()ft(1).定义：七.拉普拉斯变换的应用微分、积分方程的Laplace变换解法1).原理微分、积分方程象函数的(代数、微分)方程象原函数(方程的解)象函数取Laplace变换解代数或微分方程取Laplace逆变换场论一、数量场及其等值面在数量场中，称曲面为该数量场的等值面.在空间直角坐标系中，一个数量场可用一个数性函数来表示。二、矢量场及其矢量线1.在空间直角坐标系中，一个矢量场可用一个矢性函数来表示。2.矢量场的矢量线矢量线满足xyzdxdydzAAA定理1则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,coscoscosuuuulxyz且有若函数(,,)uuxyz在点0000(,,)Mxyz处可微，定理2:曲线C光滑，uusl(,,)uuxyz若在点(,,)Mxyz处函数可微、l为C在处的切线方向（正向），M则uuuijkxyzgradu三数量场的方向导数与梯度四矢量场的通量与散度ddddddSSAdSPyzQzxRxy散度divPQRAxyz五矢量场的环量及旋度LLAdlPdxQdyRdz环量环量面密度()cos()cos()cosnyzzxxyRQPRQPcoscoscosxyzPQR旋度rotijkAxyzPQRA的雅可比矩阵PPzPxyzQQQDAxyzRRRxyz()yzRQidivA()zxPRj()xyQPkPQRxyzrotA五几种重要的矢量场1.有势场、管形场及调和场的定义2.有势场的判定A为有势场rot0A全体势函数v000(,,)xxPxyzdx00(,,)yyQxyzdy0(,,)zzRxyzdzC则存在函数u(M),使()()()BAABAdluMuBuA若是保守场，A