第八届周培源大学生力学竞赛试题

第八届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：清华大学满分120分时间3小时30分钟一、看似简单的小试验（30分）某学生设计了三个力学试验，其条件和器材很简单：已知光滑半圆盘质量为m，半径为r，可在水平面上左右移动。坐标系Oxy与半圆盘固结，其中O为圆心，x轴水平，y轴竖直。小球(1,2,3)iPi=的质量均为m。重力加速度g平行于y轴向下，不考虑空气阻力和小球尺寸。每次试验初始时刻半圆盘都处于静止姿态。（1）如果她扔出小球1P，出手的水平位置0xr≥，但高度、速度大小和方向均可调整，问小球1P能否直接击中半圆盘边缘最左侧的A点？证明你的结论（6分）。（2）如果她把小球2P从半圆盘边缘最高处B点静止释放，由于微扰动小球向右边运动。求小球2P与半圆盘开始分离时的角度ϕ（12分）。（3）如果她让小球3P竖直下落，以0v的速度与半圆盘发生完全弹性碰撞（碰撞点在45ϕ=°处），求碰撞结束后瞬时小球3P与半圆盘的动能之比（12分）。二、组合变形的圆柱体（20分）圆柱AB的自重不计，长为L，直径为D，材料弹性模量为E，泊松比为ν，剪切屈服应力为τs。其中圆柱A端固定，B端承受引起50%剪切屈服应力的扭矩TM作用。（1）求作用于圆柱上的扭矩TM（6分）。（2）应用第三强度理论（最大剪应力理论），求在圆柱B端同时施加多大的轴向拉伸应力而不产生屈服（6分）。（3）求问题（2）情况下圆柱体的体积改变量（8分）。三、顶部增强的悬臂梁（30分）有一模量为1E的矩形截面悬臂梁AB，A端固定，B端自由。梁长为L，截面高度为1h，宽度为b。梁上表面粘着模量为212EE=的增强材料层，该层高度210.1hh=，长度和宽度与梁AB相同。工作台面D距离B端下表面高度为Δ。在B端作用垂直向下的载荷PF。不考虑各部分的自重。（1）求组合截面中性轴的位置（6分）。（2）求使梁B端下表面刚好接触D台面所需的力PF（8分）。（3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力（6分）。（4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图（10分）。四、令人惊讶的魔术师（20分）一根均质细长木条AB放在水平桌面上，已知沿着AB方向推力为1F时刚好能推动木条。但木条的长度、重量和木条与桌面间的摩擦因数均未知。魔术师蒙着眼睛，让观众把N个轻质光滑小球等间距地靠在木条前并顺序编号（设N充分大），然后如图在任意位置慢慢用力推木条，要求推力平行于桌面且垂直于AB。当小球开始滚动时，观众只要说出运动小球的最小号码minn和最大号码maxn，魔术师就能准确地说出推力的作用线落在某两个相邻的小球之间。魔术师让观众撤去小球后继续表演，观众类似前面方式在任意位置推动木条，只要说出刚好能推动木条时的推力2F，魔术师就能准确地指出推力位置。（1）简单说明该魔术可能涉及的力学原理（4分）。（2）如何根据滚动小球的号码知道推力作用在哪两个相邻小球之间（12分）？（3）如果观众故意把2F错报为122F，魔术师是否有可能发现（4分）？五、对称破缺的太极图（20分）某宇航员在太空飞行的空闲时间，仔细地从一块均质薄圆板上裁出了半个太极图形，并建立了与图形固结的坐标系Oxz。他惊奇地发现：虽然该图形不具有对称性，但仍具有很漂亮的几何性质：惯性矩xzII=。他怀疑上述性质是否具有普遍性，于是随意地将Oxz坐标系绕O点转动α角，得到新的坐标系''Oxz，仍然发现''xzII=。接着他发现该图形在太空失重情况下不可能绕z轴平稳地旋转。看到手边正好有一些钢珠，质量分别为116,(1,2,...,16)immii=×=，其中m是半太极图形的质量，他想尝试把钢珠粘在图形上……（1）试证明该图形''xzxzIIII===是否成立（10分）。（2）不考虑钢珠的尺寸和粘接剂的质量，是否可能在某处粘上一颗钢珠后，图形就能平稳地绕z轴旋转？简要说明理由（10分）。