高等数学12.2数项级数的收敛性判别法

高等数学主讲人宋从芝河北工业职业技术学院本讲概要正项级数的收敛性判别法交错级数的收敛性判别法绝对收敛与条件收敛12.2数项级数的收敛性判别法根据这一准则，,1中各项均为非负若级数nnu则称该级数为正项级数.由于,1nnnSSu即正项级数的部分和数列是一个单调增的数列.我们知道，单调有界数列必有极限.我们可得到判定正项级数收敛性的一个定理.因此有nnnuSS1,1nS≥,),3,2,1(nnu即0≥一.正项级数的收敛性判别法定义1定理1正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界.例1试判定正项级数.22sin1的收敛性nnnn21814121.1211)211(21n即其部分和数列有界，因此正项级数收敛。nnnS22sin86sin44sin21例1试判定正项级数.22sin1的收敛性nnn解由于该级数为正项级数，且部分和定理2(比较判别法)设有两个正项级数1nnu.1nnv和那么:,)1(1收敛若级数nnv;1也收敛则级数nnunu如果,),3,2,1(成立nvn≤,)2(1发散若级数nnu.1也发散则级数nnv例2讨论级数,11的收敛性npn此级数称为p级数.其中p为正常数。解当p=1时，p级数发散.当p1时，而调和级数发散，这时p级数发散.就是调和级数11nnpn1因为,),3,2,1(1nn≥所以由比较审敛法的结论(2)可知，yOpxy)1(1x123nn+1即图中带阴影线的面积和.当p1时，观察其前n项和.131211pppnnS对于每一个确定的p值，,1为底个以可以看成是nSn,1和逐渐递减的小矩形面积高为pn于是由定理1可知，这时p级数收敛.根据定积分的几何意义，显然nS)11(111d)1(11112pnpnpxx.111111ppnpppp所以部分和数列有界.综上所述可知:p级数当p≤1时发散;p1时收敛.例3.25112发散试证明正项级数nnnn证利用比较判别法.注意到2512nnn,),3,2,1(18182nnnn，是发散的因调和级数11nn根据级数性质2知道，,81后仍发散调和级数各项乘以.25112发散所以正项级数nnnn例4试判定.111的收敛性正项级数nnn解,),3,2,1(1112/3nnnn因为所给正项级数收敛.正而,23112/3级数时的是项级数ppnn它是收敛的，所以由比较判别法可知，仔细分析例3与例4，我们就会发现，或无理式时，该正项级数收敛，否则发散.如果是分式，正项级数的通项nu而其分子分母都是n的多项式(常数是零次多项式)只要分母的最高次数高出分子最高次数一次以上(不包括一次)，例5判定11.!nn收敛性练习试判定以下正项级数的收敛性:;)1)(12()1(1nnnn分子是n的一次多项式，解(1)因为通项的分母中，n的最高次数为二次，分母仅比分子高一次，故该级数发散..)11()2(133nnn,11233nn11)2(33nn因为通项.,123故级数收敛23其中分母n的最高次数为次，分子是零次，分母比分子高次，23定理3(达朗贝尔比值判别法)设有正项级数,1nnunnnuu1lim如果极限存在，那么(1)当1时级数收敛;(2)当1时级数发散;(3)当=1时级数可能收敛，也可能发散.例6试证明正项级数.3tan21收敛nnn证利用比值审敛法，因为nnnuu1limnnnnn3tan23tan2lim11.1323232lim11nnnnn所以级数收敛.,1中如果在任意项级数nnu这样的任意项级数就叫做交错级数.,)1(1321nnuuuu.),3,2,1(0nun其中它的一般形式为正负号相间出现，二、交错级数收敛性判别法在级数中，总含有无穷多个正项和负项叫任意项级数.1nnu设交错级数111():nnnu满足定理4(莱布尼茨收敛判别法)(1)nu;,3,2,11)(nun≥,0lim(2)nnu,)1(11收敛则级数nnnuS且其和.1u≤例7试判定交错级数.2)1(11的收敛性nnnn例7试判定交错级数.2)1(11的收敛性nnnn解2,nnnu因为,2111nnnu而1nnuu.02limlimnnnnnu又因为所以由交错级数判别法可知，1112().nnnn收敛1121212nnnnnn,),3,2,1(0n≥.),3,2,1(nnu所以1nu≥例7试判定交错的级数21112)1(nnnn.收敛性解在利用交错级数判别法时，.limnnu所以我们先来求.012limlim2nnunnn对于条件(1)，有时可利用导数工具来判断.,12)(2xxxf设函数因为.)1(2)(3xxxf条件(2)往往比较容易判断，例8试判定交错121211()nnnn级数的.收敛性由此可以推得.12)1(211收敛交错级数因此nnnn212)(xxxf即函数.单调减小x所以当,1时≥)(xf.0≤212nn,),3,2,1()1(1)1(22nnn≥nu即.),3,2,1(1nun≥的各项取绝对值后将级数1nnu,1收敛如果nnu1nnu就称原级数绝对收敛.定理51,nnu若级数绝对收敛则.1必收敛nnu,1nnu级数得到正项三、绝对收敛与条件收敛定义3例9试判定级数解考察级数.22112122)1(nnnnnnnnnnnn212423222122)1(423222.的收敛性因此由定理5可知该级数收敛.,1发散级数如果nnu,1收敛但级数nnu为则称该级数1nnu条件收敛..绝对收敛122)1(21nnnnn即任意项级数122nnn不难判定级数利用正项级数比值判别法，是收敛的，小结正项级数的收敛性判别法交错级数的收敛性判别法绝对收敛与条件收敛作业习题12.21，2，3