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图形折叠问题的探究已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD,AB交于点F,G(如图(1),)AF=23.求DE的长.(2)如果折痕FG分别与CD,AB交于点F,G(如图(2),),△AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长.(2012•南宁)如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.(1)如图1,求证:A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:点N是线段BC的中点;(3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.本题通过矩形纸片折叠,利用轴对称图形的性质,在丰富的图形关系中,考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力,本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性.变式:已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点(与点A、B不重合)(1)如图①,现将△PBC沿PC翻折得到△PEC;再在AD上取一点F,将△PAF沿PF翻折得到△PGF,并使得射线PE、PG重合,试问FG与CE的位置关系如何,请说明理由;(2)在(1)中,如图②,连接FC,取FC的中点H,连接GH、EH,请你探索线段GH和线段EH的大小关系,并说明你的理由;(3)如图③,分别在AD、BC上取点F、C’,使得∠APF=∠BPC’,与(1)中的操作相类似,即将△PAF沿PF翻折得到△PFG,并将△CPB′沿CP′翻折得到△CPE′,连接CF′,取CF′的中点H,连接GH、EH,试问(2)中的结论还成立吗?请说明理由.例4.(1)观察与发现:小明将三角形纸片ABC(ABAC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.(2)实践与运用:将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D′处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.如图,矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则EF的长为如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿着直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为cm.(2008•荆门)如图,矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,那么折痕EF的长为本题利用了:1、折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;2、矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的性质求解.例6.如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是()A.2B.4C.8D.10考点:翻折变换(折叠问题);勾股定理分析:先根据矩形的特点求出BC的长,再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形,利用勾股定理即可求出CF的长,再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长.点评:本题考查的是翻折变换及勾股定理,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解答此题的关键.如图,矩形纸片ABCD中,AB=18cm,把矩形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,若AF=13,则AD的长为()考点:翻折变换(折叠问题);勾股定理;矩形的性质分析:根据折叠前后角相等可证AF=FC,在直角三角形ADF中,运用勾股定理求解解答:解:根据折叠前后角相等可知△ADF≌△CEF,设DA=x,又AF=13,DF=18-13=5,在直角三角形ADF中,x2+52=132,解之得,x=12cm.故选D点评:本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等.求线段与面积间的变化关系例5已知一三角形纸片ABC,面积为25,BC的长为10,?B和?C都为锐角,M为AB上的一动点(M与A、B不重合),过点M作MN∥BC,交AC于点N,设MN=x.(1)用x表示△AMN的面积SΔAMN。(2)ΔAMN沿MN折叠,设点A关于ΔAMN对称的点为A1,ΔA1MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出y与x的函数关系式,并写出自变量X的取值范围;②当x为何值时,重叠部分的面积y最大,最大为多少?(2010•荆门)将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图(1);再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE、DF,如图2,证明:四边形AEDF是菱形.(2012•衢州)课本中,把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题:(1)将一张标准纸ABCD(AB<BC)对折,如图1所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证明.(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<BC)进行如下操作:第一步:沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上点F处,折痕为AE(如图2甲);第二步:沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上点N处,折痕为DG(如图2乙),此时E点恰好落在AE边上的点M处;第三步:沿直线DM折叠(如图2丙),此时点G恰好与N点重合.请你探究:矩形纸片ABCD是否是一张标准纸?请说明理由.(3)不难发现:将一张标准纸按如图3一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=2,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少?探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.…四.折叠后得图形例9.将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是()A.矩形B.三角形C.梯形D.菱形例10.在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是:第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).请解答以下问题:(1)如图2,若延长MN交BC于P,△BMP是什么三角形?请证明你的结论;(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP?(3)设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM′为y=kx,当∠M′BC=60°时,求k的值.此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上(E、F分别为AB、CD中点),为什么?例11.如图1所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得的图形是()例12.如图,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,AD=BC.将此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是()A.1B.2C.3D.五.折叠后得结论六.折叠和剪切的应用例15.在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大?七.以折叠为背景的存在性问题例16.已知矩形纸片OABC的长为4,宽为3,以长OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系;点P是OA边上的动点(与点O、A不重合),现将△POC沿PC翻折得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得直线PE、PF重合.(1)若点E落在BC边上,如图①,求点P、C、D的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y,当x为何值时,y取得最大值?(3)在(1)的情况下,过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标八.以折叠为背景的探索题例17.已知:矩形纸片ABCD中,AB=26cm,BC=18.5cm,点E在AD上,且AE=6cm,点P是AB边上一动点,按如下操作:步骤一,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN(如图(1)所示);步骤二,过点P作PT⊥AB交MN所在的直线于点Q,连结QE(如图(2)所示);(1)无论点P在AB边上任何位置,都有PQQE(填“>”、“=”、“<”号)(2)如图(3)所示,将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作:①当点P在A点时,PT与MN交于点Q1,Q1点的坐标是(,);②当PA=6cm时,PT与MN交于点Q2,Q2点的坐标是(,);③当PA=12cm时,在图(3)中画出MN,PT(不要求写画法)并求出MN与PT的交点Q3的坐标;(3)点P在在运动过程中,PT与MN形成一系列的交点Q1,Q2,Q3…观察,猜想:众多的交点形成的图象是什么?并直接写出该图象的函数表达式解:Ⅰ、过点N作NR⊥AB,垂足为R,连接BB′交MN于点Q.则由折叠知,△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称,∴MQ⊥BB′.在△RNM和△ABB′中,∠A=∠MRN=90°,∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°∴∠ABB′=∠RNM,又∵RN=AB=1,∴△RNM≌△ABB′,∴BB′=MN.Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB,∵MQBA=BQAB=MBBB,∵AB′=x,则BB′=21x,BQ=2121x,代入上式得:BM=21(x2+1).Ⅲ、由Ⅱ得:BM=21(x2+1).CN=BR=BM-MR=21(x2+1)-x=21(x-1)2.∵MB′∥NC′,∴四边形MNC′B′是梯形,∴S=21〔21(x-1)2+21(x2+1)〕×1=21(x2-x+1).由S=21(x2-x+1)=21(x-21)2+83,故当x=21时,即B落在AD的中点处时,梯形面积最小,其最小值为83.
本文标题:图形折叠问题的探究
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