湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试-数学(文)

·1·武昌区2020届高三年级元月调研考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则}02|{2xxxA}02|{xxBBAA．B.C．D．)1,2()0,1()2,0()2,1(2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于zi2)i1(zzA．第一象限B.第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知是各项均为正数的等比数列，，，则}{na311a1223aanaA．B.C．D．13n23n12n22n4．已知，，，则，，的大小关系为2.0log1.0a2.0log1.1b2.01.1cabcA．B.C．D．cbabcaabcbac5．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，则ABC90C2BCACPABPABP2)(CBCACPA．B.C．2D．4426．从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是·2·A．B.C．D．312132657．已知数列中，，，设，则数列的前项和为}{na11annSn2123211nnnaab}{nbnA．B.C．D．13nn133nn231nn2333nn8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，ABCSSAABC120BAC，则球O的表面积为2ACABSAA．B.C．D．4ππ54π206π39．已知双曲线的左焦点为，点为其右支上任意一点，点的坐标为，15422yxFPM)3,1(则周长的最小值为PMFA．B．C．D．105101013513910．函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列说法：)sin()(xAxf0A02π0①直线为函数的一条对称轴；12π5x)(xf②点为函数的一个对称中心；)0,3π2()(xf③函数的图象向右平移个单位后得到)(xf3π函数的图象.xy2sin2其中，正确说法的个数是A．0B.1C．2D．311．已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且lxy62ABOAOB1k2k，则直线恒过定点321kklA．B.C．D．)0,36()0,33()0,32()0,3(12．已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值.0,ln,0,1)(xxxaxxf)(xfa范围是A．B.C．D．]0,(]1,(]0,21[]1,21(·3·ABECDMA1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的最大值为______.xxy2coscos)(Rx14．若直线：被圆:截得的线段最短，则实数的值为l023mmyxC024222xyxm______.15．已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则xx所有可能的取值为______.16．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿ABCD60BADADAB2EABADE直线翻折成.若为线段的中点，则在翻折过程中，有下列三个命题：DEDEA1MCA1ADE①线段的长是定值；BM②存在某个位置，使；CADE1③存在某个位置，使平面.//MBDEA1其中正确的命题有______.(填写所有正确命题的编号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本题12分）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且.ABCABCabccBAbBBa23sincoscossin（1）求；B（2）若，求的面积的最大值.2bABC·4·18．（本题12分）如图，在直三棱柱中，，111CBAABCABAC，，，分别为，，的中点.21ACABAADEFABBCBB1（1）证明：平面；FA1DEB1（2）求直线与平面所成角的正弦值.BEDEB119．（本题12分）为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试（满分为100分），这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示：（1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由；（2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数，并填写下面列联表：m超过的人数m不超过的人数m男职工女职工（ⅱ）如果规定职工成绩不少于m定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？附：.))()()(()(22dbcadcbabcadnKP（kK20.0500.0100.001男女86556899762701223456689877654332814452110090A1CBAB1DC1EF·5·）k3.8416.63510.82820．（本题12分）已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦E)0(12222babyax点到椭圆上的点的最短距离为1.（1）求椭圆的方程；E（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，求证：直线)0,4(MlABAxABA过定点，并求出该定点的坐标.21．（本题12分）已知函数.21ln)1()(axxxaxf（1）讨论的单调性；)(xf（2）若有两个极值点，，且至少存在两个零点，求的取值范围．)(xf1x2x)(21xx2121)()(xxxfxf（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点，xxOytytx222,22轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为..22cos239（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C2C（2）若与轴交于点，与相交于、两点，求的值．1CyM1C2CAB||||MBMA23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）·6·（1）已知，若存在实数，使成立，求实数的取值范围；||||)(xaxxfx2)(xfa（2）若，，且，求证：．0m0n3nm341nm·7·武昌区2020届高三年级元月调研考试文科数学参考答案及评分细则一、选择题：题号123456789101112答案BABDDCACDCCB二、填空题：13.14.15.，3，1716.①③89111三、解答题：解：（1）由正弦定理，知，CBABBBAsin23sincossincossinsin即，，，CBABsin23)sin(sinCBABsin23)sin(sin23sinB所以.………………………………………（4分）3πB（2）由余弦定理，知，即，Baccabcos22223πcos2422acca所以，当且仅当时取等号.acacca224ca所以，所以.…………………………………（12分）4ac3sin21BacSABC18．（本题12分）解：（1）因为，，所以.ABACACDE//ABDE因为平面，平面，1AAABCDEABC所以.DEAA1因为，所以平面.AAAAB1DEBBAA11因为平面，所以.FA1BBAA11FADE1易证，因为，FADB11DEDDB11所以平面.……………（6分）FA1DEB1（2）取的中点，连结交于.AA1GBGDB1HA1CBAB1DC1EF·8·由（1）知平面，而，FA1DEB1FABG1//所以平面.BGDEB1连结，则为直线与平面所成的角.EGBEGBEDEB1在，求得.BDB1Rt52BG又因为，所以.……………（12分）2BE510sinBEBGBEG19．（本题12分）解：（1）由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下：①男职工的成绩的中位数为85.5分，女职工的成绩的中位数为73.5分；②男职工的成绩的的平均数髙于80分，女职工的成绩的平均数低于80分；③男职工的成绩中，有的成绩不少于80分，女职工的成绩中，有的成绩至多79分；75%75%④男职工的成绩分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；女职工的成绩的分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.因此，男职工的成绩更好.……………………（4分）（注：以上给出了4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分）（2）（ⅰ）由茎叶图可知：，列表如下：8029179m80m超过m不超过m男职工155女职工515……………（8分）（ⅱ）由表中数据，计算，所以，有的把握认为消防2240(151555)106.63520202020k99.9%知识是否优秀与性别有关.……………（12分）20．（本题12分）解：（1）由及，得，.,1,3cacb222cba2a3b所以，椭圆的方程为.……………（4分）E13422yx（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理，得l4myx.由，得.03624)43(22myym022m设，，则，.),(11yxA),(22yxB4324221mmyy4336221myy因为，所以，于是，直线的方程为.A),(11yx1212xxyykBABA)(112121xxxxyyyy·9·即，，])()[(1212111212yyxxyxxxxyyy)(1212211212yyyxyxxxxyyy将，，，代入，411myx422myx4324221mmyy4336221myy得，所以，直线过定点.……………（12分）)1(1212xxxyyyBA)0,1(另解：在中，令，得111212)(yxxxxyyy0y.1)(42)(212121121221112121yyyyymyyyyxyxxyyxxyx所以，直线过定点.……………（12分）BA)0,1(21．（本题12分）解：（1）的定义域为，且.)(xf),0(2)1)(1()(xaxxxf令，得或.0)(xf1xax1当时，，在单调递减，在单调递增；0a01ax)(xf)1,0(),1(当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；10a)(xf)1,0()1,1(a),1(a当时，在单调递减；1a)(xf),0(当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.（5分）1a)(xf)1,0(a)1,1(a),1(（2）由（1）知，或.10a1a因为，所以不合题意.03)1(af10a因为时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.1a)(xf)1,0(a)1,1(a),1(所以即,0)1(,0)1(faf,03,0)ln1)(1(aaa解得.3ea此时.aaaaaaaaxxxfxfln1411)ln1)(1(3)()(2121记，则.)3e(ln14)(aaaaaag22)1()ln1()1(4)(aaaag因为，所以，所以在区间单调递减，3ea0)(ag)(a