江苏省常州市2020届高三上学期期末考试数学

12020届高三模拟考试试卷数　　学(满分160分，考试时间120分钟)2020．1参考公式：锥体的体积公式V＝Sh，其中S是锥体的底面积，h为锥体的高．13样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi.1nx－x－1n一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．(第3题)1.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x2＞0}，则A∩B＝________．2.若复数z满足z·i＝1－i(i是虚数单位)，则z的实部为________．3.如图是一个算法的流程图，则输出S的值是________．4.函数y＝的定义域是________．2x－15.已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________．6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________．7.已知函数f(x)＝则f(f(8))＝________．{1x－1，x≤0，－x23，x＞0，)8.函数y＝3sin(2x＋)，x∈[0，π]取得最大值时自变量x的值为________．π39.在等比数列{an}中，若a1＝1，4a2，2a3，a4成等差数列，则a1a7＝________．10.已知＝，则tan2α＝________．cos（π2－α）cosα2211.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，过x2a2y2b2A作x轴的垂线与C的一条渐近线交于点B.若OB＝2a，则C的离心率为________．12.已知函数f(x)＝|lg(x－2)|，互不相等的实数a，b满足f(a)＝f(b)，则a＋4b的最小值为________．　13.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点(0，1)的距离为2，则实数a的取值范围是________．14.在△ABC中，∠A＝，点D满足＝，且对任意π3AD→23AC→x∈R，|x＋|≥|－|恒成立，则cos∠ABC＝________．AC→AB→AD→AB→二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，cosB＝.33(1)若A＝，求sinC的值；π3(2)若b＝，求c的值．216.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AP＝AD，点M，N分别是线段PD，AC的中点．求证：(1)MN∥平面PBC；(2)PC⊥AM.317.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为x2a2y2b2F1，F2，椭圆右顶点为A，点F2在圆A：(x－2)2＋y2＝1上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点M在椭圆C上，且位于第四象限，点N在圆A上，且位于第一象限，已知＝－，求直线F1M的斜率．AM→132AN→418.(本小题满分16分)请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10cm的正方形硬纸片(如图1)，切去阴影部2分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2)，设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm)．(1)若要求包装盒侧面积S不小于75cm2，求x的取值范围；(2)若要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积．519.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(ax2＋2x)lnx＋x2＋1(a∈R)．a2(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e≈2.71828…)620.(本小题满分16分)设m为正整数，若两个项数都不小于m的数列{An}，{Bn}满足：存在正数L，当n∈N*且n≤m时，都有|An－Bn|≤L，则称数列{An}，{Bn}是“(m，L)接近的”．已知无穷等比数列{an}满足8a3＝4a2＝1，无穷数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝1，且＝Sn（bn＋1－bn）bnbn＋1，n∈N*.12(1)求数列{an}通项公式；(2)求证：对任意正整数m，数列{an}，{a＋1}是“(m，1)接近的”；2n(3)给定正整数m(m≥5)，数列，{b＋k}(其中k∈R)是“(m，L)接近的”，求L的{1an}2n最小值，并求出此时的k(均用m表示)．(参考数据：ln2≈0.69)72020届高三模拟考试试卷(五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-2：矩阵与变换)已知点(a，b)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点(4，6)．[1　32　4](1)写出矩阵A的逆矩阵；(2)求a＋b的值．B.(选修4-4：坐标系与参数方程)求圆心在极轴上，且过极点与点P(2，)的圆的极坐标方程．3π6C.(选修4-5：不等式选讲)求函数y＝的最小值．x－2x＋6x＋18【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X表示这3个样品中优等品的个数．(1)求取出的3个样品中有优等品的概率；(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．23.设集合A＝{1，2}，An＝{t|t＝an·3n＋an－1·3n－1＋…＋a1·3＋a0，其中ai∈A，i＝0，1，2，…，n}，n∈N*.(1)求A1中所有元素的和，并写出集合An中元素的个数；(2)求证：能将集合An(n≥2，n∈N*)分成两个没有公共元素的子集Bs＝{b1，b2，b3，…，bs}和Cl＝{c1，c2，c3，…，cl}，s，l∈N*，使得b＋b＋…＋b＝c21222s＋c＋…＋c成立．21222l92020届高三模拟考试试卷(五)(常州)数学参考答案及评分标准1.{－1，1}　2.－1　3.10　4.[0，＋∞)　5.2　6.　7.－　8.　9.64　10.－271015π12　11.2　12.14　13.∪　14.2[1－172，0][1，1＋172]5132615.解：(1)在△ABC中，0＜B＜π，则sinB＞0.因为cosB＝，所以sinB＝＝＝.(3分)331－cos2B1－（33）263在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，(5分)所以sinC＝sin(＋B)＝sincosB＋cossinB＝×＋×＝.(8分)π3π3π3323312633＋66(2)由余弦定理得b2＝a2－2accosB＋c2，则()2＝1－2c·＋c2，(10分)233所以c2－c－1＝0，(c－)(c＋)＝0.(12分)233333因为c＋＞0，所以c－＝0，即c＝.(14分)333316.证明：(1)取PC，BC的中点E，F，连结ME，EF，FN，在三角形PCD中，点M，E为PD，PC的中点，所以EM∥CD，EM＝CD.12在三角形ABC中，点F，N为BC，AC的中点，所以FN∥AB，FN＝AB.12因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，AB＝CD，从而EM∥FN，EM＝FN，所以四边形EMNF是平行四边形．(4分)所以MN∥EF，又EF⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC.(6分)(2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.10因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD.(8分)因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.(10分)因为AP＝AD，点M为PD的中点，所以AM⊥PD.因为PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD.(12分)又PC⊂平面PCD，所以PC⊥AM.(14分)17.解：(1)圆A：(x－2)2＋y2＝1的圆心A(2，0)，半径r＝1，与x轴交点坐标为(1，0)，(3，0)．点F2在圆A：(x－2)2＋y2＝1上，所以F2(1，0)，从而a＝2，c＝1，所以b＝＝＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)a2－c222－123x24y23(2)由题可设点M(x1，y1)，0＜x1＜2，y1＜0，点N(x2，y2)，x2＞0，y2＞0，则＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)．AM→AN→由＝－知，点A，M，N共线．(5分)AM→132AN→由题知直线AM的斜率存在，可设为k(k＞0)，则直线AM的方程为y＝k(x－2)．由得或{y＝k（x－2），（x－2）2＋y2＝1，){x＝2＋1＋k21＋k2，y＝k1＋k21＋k2){x＝2－1＋k21＋k2，y＝－k1＋k21＋k2，)所以N(2＋，)．(7分)1＋k21＋k2k1＋k21＋k2由得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得或{y＝k（x－2），x24＋y23＝1，){x＝2，y＝0){x＝8k2－63＋4k2，y＝－12k3＋4k2，)所以M(，)．(10分)8k2－63＋4k2－12k3＋4k2代入＝－得(－2，)＝－(，)，AM→132AN→8k2－63＋4k2－12k3＋4k21321＋k21＋k2k1＋k21＋k2即(4k2－9)(52k2＋51)＝0，又k＞0，解得k＝，(13分)32所以M(1，－)，又F1(－1，0)，可得直线F1M的斜率为＝－.(14分)32－321－（－1）3418.解：(1)在图1中连结AC，BD交于点O，设BD与FG交于点M，在图2中连结OP.11因为ABCD是边长为10cm的正方形，所以OB＝10(cm)．2由FG＝x，得OM＝，PM＝BM＝10－.(2分)x2x2因为PM＞OM，即10－＞，所以0＜x＜10.(4分)x2x2因为S＝4×FG·PM＝2x(10－)＝20x－x2，(6分)12x2由20x－x2≥75，得5≤x≤15，所以5≤x10.答：x的取值范围是5≤x＜10.(8分)(2)在Rt△OMP中，因为OM2＋OP2＝PM2，所以OP＝＝＝，PM2－OM2（10－x2）2－（x2）2100－10xV＝·FG2·OP＝x2＝，0＜x＜10.(10分)1313100－10x13100x4－10x5设f(x)＝100x4－10x5，0＜x＜10，所以f′(x)＝400x3－50x4＝50x3(8－x)．令f′(x)＝0，解得x＝8或x＝0(舍去)，(12分)列表：x(0，8)8(8，10)f′(x)＋0－f(x)极大值所以当x＝8时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，(14分)所以当x＝8时，V的最大值为.12853答：当x＝8cm时，包装盒容积V最大为(cm3)．(16分)1285319.(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝(2ax＋2)lnx＋(ax2＋2x)·＋ax＝2(ax＋1)lnx＋2ax＋2＝2(ax＋1)(lnx＋1)，(2分)1x则f′(1)＝2(a＋1)＝2，所以a＝0.(3分)此时f(x)＝2xlnx＋1，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx＋1)，令f′(x)＞0，解得x＞；令f′(x)＜0，解得x＜；1e1e12所以函数f(x)的单调增区间为(，＋∞)，单调减区间为(0，)．(6分)1e1e(2)函数f(x)＝(ax2＋2x)lnx＋x2＋1在区间[1，e]上的图象是一条不间断的曲线．a2由(1)知f′(x)＝2(ax＋1)(lnx＋1)，1)当a≥0时，对任意x∈(1，e)，ax＋1＞0，lnx＋1＞0，则f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]