2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一(普通班)下学期期初考试数学试题(解析版)

第1页共23页2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一（普通班）下学期期初考试数学试题一、单选题1．某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：产量x(万件)234单位成本y(元/件)3a7现根据表中所提供的数据,求得y关于x的线性回归方程为ˆ21yx,则a值等于()A．4.5B．5C．5.5D．6【答案】B【解析】由已知表格中的数据求得x与y的值,代入线性回归方程求解a值.【详解】由所给数据可求得23433x,103ay,代入线性回归方程为ˆ21yx,得102313a,解得5a故选:B.【点睛】本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.2．直线cos320xy的倾斜角的范围是（）A．5,,6226B．50,,66第2页共23页C．50,6D．5,66【答案】B【解析】将直线方程化为斜截式,得到斜率k,从而可以求出k的取值范围,进而得到倾斜角的范围.【详解】将直线方程cos320xy化为斜截式:323cos33yx,故直线的斜率3cos3k,cos1,1,33[,]33k,所以直线的倾斜角范围为50,,66,故选:B.【点睛】本题考查直线的倾斜角,由斜率范围确定倾斜角范围时容易求反,答题时要仔细.3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是（）A．11(),()32PMPNB．11(),()22PMPNC．13(),()34PMPND．13(),()24PMPN【答案】D【解析】试题分析：2113(),()1,4244PMPN选D.【考点】古典概型.4．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为()A．(－2，4)B．(－2，－4)C．(2，4)D．(2，－4)【答案】C【解析】求出A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，可写出BC所在直线方程，与直线y＝2x联立，即可求出C点坐标.第3页共23页【详解】设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则221424222yxyx，解得42xy∴BC所在直线方程为y－1＝2143(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立直线y=2x，解得24xy，则C(2，4)．故选C.【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题.5．在ABC中，7,2,60ACBCB，则BC边上的中线AD的长为()A．1B．3C．2D．7【答案】D【解析】由余弦定理可得：2222cos3ACABBCABBCBAB，在ABD中，由余弦定理可得：2222cos7ADABBDABBDB，即可．【详解】由余弦定理可得：22222cos230ACABBCABBCBABAB．3AB在ABD中，由余弦定理可得：2222cos7ADABBDABBDB，7AD故选D．【点睛】本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现第4页共23页ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.6．已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝23，则直线l的方程为()A．x＝－1或4x＋3y－4＝0B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0D．x＝1或4x＋3y－4＝0【答案】B【解析】当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，过圆C作CM⊥PQ，垂足为M，由于|PQ|＝23，可求得|CM|＝1.由|CM|＝231kk＝1，解得k＝43，此时直线l的方程为y＝43(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.7．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m【答案】A【解析】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AC=h．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得BC=3h．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出．【详解】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h．∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BC=3h．第5页共23页在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．∴（3h）2=h2+1002﹣121002h，化为h2+50h﹣5000=0，解得h=50．故选A．【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.8．已知直线l方程为,0fxy，111,Pxy和222,Pxy分别为直线l上和l外的点，则方程1122,,,0fxyfxyfxy表示（）A．过点1P且与l垂直的直线B．与l重合的直线C．过点2P且与l平行的直线D．不过点2P，但与l平行的直线【答案】C【解析】先判断直线与l平行，再判断直线过点2P，得到答案.【详解】由题意直线l方程为,0fxy，则方程1122,,,0fxyfxyfxy两条直线平行，111,Pxy为直线l上的点，11,0fxy，1122,,,0fxyfxyfxy，化为22,,0fxyfxy，显然222,Pxy满足方程1122,,,0fxyfxyfxy，所以1122,,,0fxyfxyfxy表示过点2P且与l平行的直线．第6页共23页故答案选C．【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.二、多选题9．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取了20名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（）A．2000名运动员是总体；B．所抽取的20名运动员是一个样本；C．样本容量为20；D．每个运动员被抽到的机会相等.【答案】CD【解析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.【详解】由已知可得，2000名运动员的年龄是总体，20名运动员的年龄是样本，总体容量为2000，样本容量为20，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为1100，所以A、B错误，C、D正确.故选：CD.【点睛】本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.10．已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，下列四个命题中正确的命题是（）A．若coscoscosabcABC，则ABC一定是等边三角形B．若coscosaAbB，则ABC一定是等腰三角形C．若coscosbCcBb，则ABC一定是等腰三角形D．若2220abc，则ABC一定是锐角三角形【答案】AC【解析】利用正弦定理可得tantantan,ABCABC，可判断A；由正弦定理可得22sinAsinB，可判断B；由正弦定理与诱导公式可得sinsin,sinsinBCBAB，可判断C；由余弦定理可得角C为锐角，角,AB不一定是锐角，可判断D.【详解】第7页共23页由coscoscosabcABC，利用正弦定理可得sinsinsincoscoscosABCABC，即tantantan,ABCABC，ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sincossincossin2sin2AABBAB，22AB或22AB，ABC是等腰或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sincossincossinBCCBB，即sinsin,sinsinBCBAB，则,ABABC等腰三角形，C正确；由正弦定理可得222cos02abcCab，角C为锐角，角,AB不一定是锐角，D不正确，故选AC.【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.11．（多选题）下列说法正确的是（）A．直线20xy与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．点(0,2)关于直线1yx的对称点为(1,1)C．过11(,)xy，22(,)xy两点的直线方程为112121yyxxyyxxD．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy【答案】AB【解析】根据直线的方程及性质，逐项分析，A中直线在坐标轴上的截距分别为2，2，所以围成三角形的面积是2正确，B中0+121(,)22在直线1yx上，且(0,2),(1,1)连线的斜率为1，所以B正确，C选项需要条件2121,yyxx，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线yx.【详解】第8页共23页A中直线在坐标轴上的截距分别为2，2，所以围成三角形的面积是2正确，B中0+121(,)22在直线1yx上，且(0,2),(1,1)连线的斜率为1，所以B正确，C选项需要条件2121,yyxx，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线yx.【点睛】本题主要考查了直线的截距，点关于直线的对称点，直线的两点式方程，属于中档题.12．设有一组圆224*:(1)()()kCxykkkN.下列四个命题正确的是（）A．存在k，使圆与x轴相切B．存在一条直线与所有的圆均相交C．存在一条直线与所有的圆均不相交D．所有的圆均不经过原点【答案】ABD【解析】根据圆的方程写出圆心坐标，半径，判断两个圆的位置关系，然后对各选项进行分析检验，从而得到答案.【详解】根据题意得圆的圆心为（1，k），半径为2k，选项A,当k=2k，即k=1时，圆的方程为22111xy，圆与x轴相切，故正确；选项B，直线x=1过圆的圆心（1，k），x＝1与所有圆都相交，故正确；选项C,圆k：圆心（1，k），半径为k2，圆k+1：圆心（1，k+1），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d＝1，两圆的半径之差R﹣r＝2k+1，（R﹣r＞d），∁k含于Ck+1之中，若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；选项D,将（0，0）带入圆的方程，则有1+k2＝k4，不存在k∈N使上式成立，即所有圆不过原点，正确．故选ABD【点睛】本