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第1页,共14页极坐标参数方程一、解答题(本大题共19小题,共228.0分)1.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{𝑦=𝑠𝑖𝑛𝜃𝑥=3𝑐𝑜𝑠𝜃,(θ为参数),直线l的参数方程为{𝑦=1−𝑡𝑥=𝑎+4𝑡,(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为√17,求a.【答案】解:(1)曲线C的参数方程为{𝑦=𝑠𝑖𝑛𝜃𝑥=3𝑐𝑜𝑠𝜃(θ为参数),化为标准方程是:𝑥29+y2=1;a=-1时,直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y-3=0;联立方程{𝑥29+𝑦2=1𝑥+4𝑦−3=0,解得{𝑦=0𝑥=3或{𝑥=−2125𝑦=2425,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(-2125,2425).(2)l的参数方程{𝑦=1−𝑡𝑥=𝑎+4𝑡(t为参数)化为一般方程是:x+4y-a-4=0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),所以点P到直线l的距离d为:d=|3𝑐𝑜𝑠𝜃+4𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑎−4|√17=|5𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜑)−𝑎−4|√17,φ满足tanφ=34,且的d的最大值为√17.①当-a-4≤0时,即a≥-4时,|5sin(θ+φ)-a-4|≤|-5-a-4|=|5+a+4|=17解得a=8和-26,a=8符合题意.②当-a-4>0时,即a<-4时|5sin(θ+φ)-a-4|≤|5-a-4|=|5-a-4|=17,解得a=-16和18,a=-16符合题意.【解析】(1)将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标;(2)曲线C上的点可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离,再结合距离最大值为√17进行分析,可以求出a的值.本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值,难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a.2.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=2+2𝑠𝑖𝑛𝜃(θ为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线C的极坐标方程;(2)设M的极坐标为(√2,𝜋4),过点M的直线l与曲线C相交于A,B两点,若|MA|=2|MB|,求AB的弦长.第2页,共14页【答案】解:(1)∵曲线C的参数方程为{𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=2+2𝑠𝑖𝑛𝜃(θ为参数).∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,∴曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρsinθ=0,即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(2)由点M的极坐标为(√2,𝜋4),设直线l的参数方程是{𝑥=1+𝑡⋅𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=1+𝑡⋅𝑠𝑖𝑛𝜃(θ为参数)①,曲线C的直角坐标方程是x2+y2-4y=0,②,①②联立,得t2+2(cosθ-sinθ)t-2=0,∴t1t2=-2,且|MA|=2|MB|,∴t1=-2t2,则t1=2,t2=-1或t1=-2,t2=1,∴AB的弦长|AB|=|t1-t2|=3.【解析】本题考查曲线的极坐标方程的求法,考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极坐标方程与直角坐标方程的互化公式的合理运用.(1)由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程,由此能求出曲线C的极坐标方程.(2)先求出直线l的参数方程,与曲线C的直角坐标方程联立,得t2+2(cosθ-sinθ)t-2=0,由此能求出AB的弦长.3.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为{𝑥=−5+√2𝑐𝑜𝑠𝑡𝑦=3+√2𝑠𝑖𝑛𝑡,(t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为𝜌𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝜋4)=−√2,A,B两点的极坐标分别为𝐴(2,𝜋2),𝐵(2,𝜋).(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)点P是圆C上任一点,求△PAB面积的最小值.【答案】解:(1)由{𝑥=−5+√2𝑐𝑜𝑠𝑡𝑦=3+√2𝑠𝑖𝑛𝑡,化简得:{𝑥+5=√2𝑐𝑜𝑠𝑡𝑦−3=√2𝑠𝑖𝑛𝑡,消去参数t,得(x+5)2+(y-3)2=2,∴圆C的普通方程为(x+5)2+(y-3)2=2.由ρcos(θ+𝜋4)=-√2,化简得√22ρcosθ-√22ρsinθ=-√2,即ρcosθ-ρsinθ=-2,即x-y+2=0,则直线l的直角坐标方程为x-y+2=0;(Ⅱ)将A(2,𝜋2),B(2,π)化为直角坐标为A(0,2),B(-2,0),∴|AB|=√(0+2)2+(2−0)2=2√2,设P点的坐标为(-5+√2cost,3+√2sint),∴P点到直线l的距离为d=|−5+√2𝑐𝑜𝑠𝑡−3−√2𝑠𝑖𝑛𝑡+2|√2=|−6+2𝑐𝑜𝑠(𝑡+𝜋4)|√2,∴dmin=4√2=2√2,则△PAB面积的最小值是S=12×2√2×2√2=4.第3页,共14页【解析】(1)由圆C的参数方程消去t得到圆C的普通方程,由直线l的极坐标方程,利用两角和与差的余弦函数公式化简,根据x=ρcosθ,y=ρsinθ转化为直角坐标方程即可;(2)将A与B的极坐标化为直角坐标,并求出|AB|的长,根据P在圆C上,设出P坐标,利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离,利用余弦函数的值域确定出最小值,即可确定出三角形PAB面积的最小值.此题考查了圆的参数方程,以及简单曲线的极坐标方程,熟练掌握参数方程与普通方程间的转换是解本题的关键.4.已知直线l:{𝑥=1+12𝑡𝑦=√36𝑡(t为参数),曲线C1:{𝑥=cos𝜃𝑦=sin𝜃(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的√32倍,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.【答案】解:(1)l的普通方程𝑦=√33(𝑥−1),C1的普通方程x2+y2=1,联立方程组{𝑦=√33(𝑥−1)𝑥2+𝑦2=1,解得l与C1的交点为A(1,0),𝐵(−12,−√32),则|𝐴𝐵|=√3;(2)C2的参数方程为{𝑥=12𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=√32𝑠𝑖𝑛𝜃(θ为参数),故点P的坐标是(12𝑐𝑜𝑠𝜃,√32𝑠𝑖𝑛𝜃),从而点P到直线l的距离是|12𝑐𝑜𝑠𝜃−32𝑠𝑖𝑛𝜃−1|2=|√102𝑠𝑖𝑛(𝜃−𝜑)+1|2,由此当sin(θ-φ)=1时,d取得最大值,且最大值为√104+12.【解析】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查参数方程的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.(1)设l与C1相交于A,B两点,利用普通方程,求出A,B的坐标,即可求|AB|;(2)点P的坐标是(12𝑐𝑜𝑠𝜃,√32𝑠𝑖𝑛𝜃),点P到直线l的距离是|12𝑐𝑜𝑠𝜃−32𝑠𝑖𝑛𝜃−1|2=|√102𝑠𝑖𝑛(𝜃−𝜑)+1|2,即可求它到直线l的距离的最大值.5.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知曲线C1的参数方程为{𝑦=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑥=𝑐𝑜𝑠𝛼,(α为参数,且α∈[0,π)),曲线C2的极坐标方程为ρ=-2sinθ.(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程;(2))若P是C1上任意一点,过点P的直线l交C2于点M,N,求|PM|•|PN|的取值范围.【答案】解:(1)消去参数可得x2+y2=1,因为α∈[0,π),所以-1≤x≤1,0≤y≤1,所以曲线C1是x2+y2=1在x轴上方的部分,第4页,共14页所以曲线C1的极坐标方程为ρ=1(0≤θ≤π).…(2分)曲线C2的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1…(5分)(2)设P(x0,y0),则0≤y0≤1,直线l的倾斜角为α,则直线l的参数方程为:{𝑦=𝑦0+𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼𝑥=𝑥0+𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼(t为参数).…(7分)代入C2的直角坐标方程得(x0+tcosα)2+(y0+tsinα+1)2=1,由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y0|,因为0≤y0≤1,所以|PM|•|PN|=∈[1,3]…(10分)【解析】(1)求出C1的普通方程,即可求C1的极坐标方程,利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出C2的直角坐标方程;(2)直线l的参数方程为:{𝑦=𝑦0+𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼𝑥=𝑥0+𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼(t为参数),代入C2的直角坐标方程得(x0+tcosα)2+(y0+tsinα+1)2=1,由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y0|,即可求|PM|•|PN|的取值范围.本题考查三种方程的互化,考查参数方程的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.6.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{𝑦=𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛼𝑥=𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼(α为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)在以O为极点,x正半轴为极轴的极坐标系中,直线l方程为√2𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜋4−𝜃)+12=0,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.【答案】解:(1)曲线C的参数方程为{𝑦=𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛼𝑥=𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼(α为参数).由已知𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑥+𝑦2,𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑥−𝑦2,整理得:普通方程为(𝑥+𝑦2)2+(𝑥−𝑦2)2=1,化简得x2+y2=2.(2)由√2ρsin(𝜋4-θ)+12=0,知𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃)+12=0,化为普通方程为x-y+12=0圆心到直线l的距离h=√24,由垂径定理|𝐴𝐵|=√302.【解析】(1)直接把参数方程转化为直角坐标方程.(2)首先把极坐标方程转化为直角坐标方程,进一步利用点到直线的距离和垂径定理求出结果.本题考查的知识要点:直角坐标方程与参数方程的互化,极坐标方程和直角坐标方程的互化,点到直线的距离公式的应用,垂径定理得应用.7.在直角坐标系xoy中,已知点P(0,√3),曲线C的参数方程为{𝑥=√2𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝜑(φ为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程第5页,共14页为ρ=√32𝑐𝑜𝑠(𝜃−𝜋6).(Ⅰ)判断点P与直线l的位置关系并说明理由;(Ⅱ)设直线l与曲线C的两个交点分别为A,B,求1|𝑃𝐴|+1|𝑃𝐵|的值.【答案】解:(Ⅰ)点P在直线l上,理由如下:直线l:ρ=√32𝑐𝑜𝑠(𝜃−𝜋6),即2𝑐𝑜𝑠(𝜃−𝜋6)=√3,亦即√3𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃+𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃=√3,∴直线l的直角坐标方程为:√3x+y=√3,易知点P在直线l上.(Ⅱ)由题意,可得直线l的参数方程为{𝑥=−12𝑡𝑦=√3+√32𝑡(t为参数),曲线C的普通方程为𝑦24+𝑥22=1.将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,得5t2+12t-4=0,设两根为t1,t2,∴t1+t2=-125,t1•t2=-45,∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=√(𝑡1+𝑡2)2−4𝑡1𝑡2=4√145,∴1|𝑃𝐴|+1|𝑃𝐵|=|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵||𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|=4√145|−45|=√14.【解析】(Ⅰ)点P在直线l上,理由如下:直线l:ρ=√32𝑐𝑜𝑠(𝜃−𝜋6),展开可得√3𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃+𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃=√3,可得直线l的直角坐标方程即可验证.(Ⅱ)由题意,可得直线l的参数方程为{�
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